Не понимаю, как вывести автокорреляционную функцию

[Kevsh]

Я хочу посчитать автокорреляционную функцию единичной функции. Она равна единице на промежутке от $0$ до $T$ и нулю во всех остальных точках. Смысл автокорреляционной функции, как я понял, это площадь пересечения сигнала и его сдвинутой копии. Если мы сдвигаем нашу копию вправо на $\tau$, то область пересечения у нас от $\tau$ до $T$. Если мы сдвигаем копию влево, то область пересечения будет от $0$ до $T-\tau$. Учитывая, что функция у нас равна единице на промежутке от $0$ до $T$, наша площадь пересечения в обоих случаях равна $T-\tau$. Правильно ли я понимаю, что для второго случая нужно учитывать тот факт, что $\tau$ у нас может быть только отрицательной и ставить перед ней минус? В таком случае всё как раз правильно получается, но я не уверен, что нужно мыслить именно и так и что так вообще можно делать. Не припомню, чтобы я вообще когда-нибудь знак переменной учитывал и как-то его выносил в выражение. Также интересно - при вычислении корреляционных функций всегда нужно строить графики функций? На данном этапе я вообще не представляю, как можно обойтись без этого. Можно, допустим, для той же единичной функции всё вывести чисто аналитически?

[Евгений Машеров]

В данном частном случае значение АКФ действительно получается равным площади пересечения прямоугольников (поскольку "единожды един - один"). Но вообще-то надо перемножать и интегрировать. Рисовать не обязательно, только для наглядности. АКФ в данном случае принимает только неотрицательные значения, как для положительных, так и отрицательных сдвигов.

[Kevsh]

Вот не очень понятно, как перемножить и проинтегрировать.
Мы имеем такую функцию:
$\begin{equation*} s(t) = \begin{cases} 1,t\in[0;T] &\\ 0,t\in(-\infty;0)\cup(T;+\infty) & \end{cases} \end{equation*}$
Определение АКФ:
$B(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)s(t-\tau)dt$
Если, допустим, интегрировать только на промежутке $t\in[0;T]$, то получится просто $T$, что логично, потому что мы просто нашли длину отрезка. Как быть, когда функция определена таким образом?

[Евгений Машеров]

Разбить на отрезки.

[Kevsh]

Вы имеете в виду на отрезки $(-\infty;0)$, $[0;T]$ и $(T;+\infty)$?
Вот, что я получаю:
$\int\limits_{-\infty}^0s(t)s(t-\tau)dt=0$, т.к $s(t)=0$ на данном отрезке;
$\int\limits_{T}^{+\infty}s(t)s(t-\tau)dt=0$, т.к $s(t)=0$ на данном отрезке;
$\int\limits_{0}^{T}s(t)s(t-\tau)dt=\int\limits_{0}^{T}s(t-\tau)dt=???$
Я не понимаю, как брать этот интеграл. Также даже в первых двух интегралах есть проблема. На деле искомая функция в отрицательной области не всегда равна нулю - на отрезке $[-T;0]$ функция должна быть определена как $B(\tau)=T+\tau$.