Существование и непрерывность производной

[Stensen]

Доброго всем времени суток. помогите разобраться. Дана функция:

f(x)=

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2 \sin (e^{- \frac{1}{x}}),\,\, x\ne 0& \\ 0,\,\, x=0\\ \end{array} \right.$$

Доказать, что не существует $ \lim\limits_{x \to 0}^{} f’(x)$.

Легко показать по определению, что $f’(0)=0$.

$f’(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} \frac{(0+\Delta x)^2 \sin (e^{-\frac{1}{0+\Delta x}})- f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} \Delta x \sin (e^{-\frac{1}{\Delta x}})=0$ т.к. синус ограниченный. Легко найти $f’(x)$ при $x\ne 0$,

$f’(x)=2x \sin (e^{-\frac{1}{x}} )+ e^{-\frac{1}{x}} \cos (e^{-\frac{1}{x}})$ и

$\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} f’(x)=0$ тк синус и $e^{-\frac{1}{x}}$ ограничены. У меня этот предел существует. Где я ошибаюсь.

[mihaild]

Не у любой ограниченной функции есть предел.
Здесь удобно использовать то, что если у одного слагаемого есть предел, то у всей суммы он есть тогда и только тогда, когда он есть у второго слагаемого. Аналогично, если у одного из сомножителей есть ненулевой предел, то у всего произведения он есть тогда и только тогда, когда он есть и у другого сомножителя.

[bot]

Stensen в сообщении #1568814 писал(а):

Где я ошибаюсь

Здесь

Цитата:

$e^{-\frac{1}{x}}$ ограничен

.

[Stensen]

Да, понял. $ \lim\limits_{x \to 0+0}^{} e^{-\frac{1}{x}} \ne \lim\limits_{x \to 0-0}^{} e^{-\frac{1}{x}} = + \infty$.

Всем спасибо