Вычисление несобственного интеграла с параметром.

[Metro]

Есть задание вычислить несобственный интеграл $\int_0^\infty \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x}dx$ применяя интегрирование по параметру ( и никак иначе, только так ).
Я провожу следующие преобразования
$\int_0^\infty \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^\infty (\frac{x^2 + a^2}{x^2 + a^2} - \frac{2a^2}{x^2 + a^2}) \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx = $ [Интеграл Дирихле: $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}] = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx = [ \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\int_0^1 x\cos yx dy = \int_0^1 \cos yx dy ] = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}(\int_0^1 \cos yx dy)dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \int_0^1 \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dy dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 dy \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dx $.

Дальше по теореме об интегрировании по параметру:
Если:
1) Функция $f(x,y)$ непрерывна при $x \geq a$ и $y \in [c,d]$ ;
2) $\int_a^\infty f(x,y) dx$ - сходится равномерно относительно параметра на отрезке , то $\int_c^d dy \int_a^\infty f(x,y)dx = \int_a^\infty dx \int_c^d f(x,y) dy $

Т.к. $f(x,y)$ в этой задаче является непрерывной функцией, а равномерная сходимость в данном случае доказывается по признаку Вейерштрасса, то есть основания применить теорему об интегрировании по параметру и получить следующие:
$\int_0^1 dy \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dx = \int_0^\infty dx \int_0^1 \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dy $, но тогда по итогу, при дальнейшем решении интеграла, снова получится $\frac{\pi}{2} - \int_0^\infty dx \int_0^1 \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dy = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx $. Т.е. я пришел к тому же интегралу что у меня был после замены именного интеграла на $\frac{\pi}{2}$, можно сказать практически к началу решения и это интегрирование по параметру не имело никакой практической пользы.
Дальше этот интеграл можно решить через вычеты, но тогда вопрос: зачем вообще тогда нужно было это интегрирование по параметру, если можно обойтись без него и с самого начала ( еще с этого интеграла $\int_0^\infty \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x}dx$ ) решить через вычеты?
Я где-то допустил ошибку из-за чего все это решение и выглядит таким бестолковым?
Или суть задания не оптимально возможным способом решить интеграл, а просто проверить как ты владеешь темой интегрирования и дифференцирования по параметру? Но в таком случае почему же это так глупо выглядит и получается что я хожу кругами, начиная отсюда $\frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx$ и через "фокусы" возвращаюсь обратно же сюда $\frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx$.

[svv]

Вот способ с помощью дифференцирования по параметру. Пусть $a>0,b\geqslant 0$.
$\begin{array}{rcl}I(a,b)&=&\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac 1{x^2 + a^2}\dfrac{\sin bx}x\,dx\\ [2ex]\dfrac{\partial^2I}{\partial b^2}&=&\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac {-x^2}{x^2 + a^2}\dfrac{\sin bx}x\, dx=a^2I-\dfrac{\pi}2\end{array}$

Отсюда $I=\dfrac{\pi}{2a^2}+C_1e^{ab}+C_2e^{-ab}$.
$C_1=0$, потому что $I(a,b)$ ограничен при фиксированном $a$ и $b\to+\infty$.
$C_2$ находится из условия $I(a,0)=0$.