Есть задание вычислить несобственный интеграл

применяя интегрирование по параметру ( и никак иначе, только так ).
Я провожу следующие преобразования
![$\int_0^\infty \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^\infty (\frac{x^2 + a^2}{x^2 + a^2} - \frac{2a^2}{x^2 + a^2}) \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx = $
[Интеграл Дирихле: $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}] = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx = [ \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\int_0^1 x\cos yx dy = \int_0^1 \cos yx dy ] = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}(\int_0^1 \cos yx dy)dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \int_0^1 \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dy dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 dy \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dx $ $\int_0^\infty \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^\infty (\frac{x^2 + a^2}{x^2 + a^2} - \frac{2a^2}{x^2 + a^2}) \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx = $
[Интеграл Дирихле: $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}] = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\frac{\sin x}{x}dx = [ \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\int_0^1 x\cos yx dy = \int_0^1 \cos yx dy ] = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}(\int_0^1 \cos yx dy)dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty \int_0^1 \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dy dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 dy \int_0^\infty \frac{2a^2}{x^2 + a^2}\cos yx dx $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/0/4c04c598eb901e7f1e3565dd50408fb682.png)
.
Дальше по теореме об интегрировании по параметру:
Если:
1) Функция

непрерывна при

и
![$y \in [c,d]$ $y \in [c,d]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/1/1b1224a22193d142b7f4d529c54e6ddf82.png)
;
2)

- сходится равномерно относительно параметра на отрезке , то

Т.к.

в этой задаче является непрерывной функцией, а равномерная сходимость в данном случае доказывается по признаку Вейерштрасса, то есть основания применить теорему об интегрировании по параметру и получить следующие:

, но тогда по итогу, при дальнейшем решении интеграла, снова получится

. Т.е. я пришел к тому же интегралу что у меня был после замены именного интеграла на

, можно сказать практически к началу решения и это интегрирование по параметру не имело никакой практической пользы.
Дальше этот интеграл можно решить через вычеты, но тогда вопрос: зачем вообще тогда нужно было это интегрирование по параметру, если можно обойтись без него и с самого начала ( еще с этого интеграла

) решить через вычеты?
Я где-то допустил ошибку из-за чего все это решение и выглядит таким бестолковым?
Или суть задания не оптимально возможным способом решить интеграл, а просто проверить как ты владеешь темой интегрирования и дифференцирования по параметру? Но в таком случае почему же это так глупо выглядит и получается что я хожу кругами, начиная отсюда

и через "фокусы" возвращаюсь обратно же сюда

.