Хаос в гладких двумерных системах

[AAMstudent]

Добрый день.

Имеется динамическая система, которая описывается следующими дифференциальными уравнениями:
$ \begin{cases} \dot{\tau} = \Omega,\\ w\dot{\varphi} = i_{dc} + i_{rf}\sin{\tau} - \sin\varphi. \end{cases} $
Здесь $\Omega,\ w,\ i_{dc},\ i_{rf} > 0$ -- параметры системы. Физически это соответствует джозефсоновскому переходу без электрической емкости под внешним излучением.
Я хочу сделать утверждение, что в такой системе не бывает хаотического аттрактора и динамического хаоса. Как я понимаю, для этого нужно применить теорему в духе Пуанкаре-Бендиксона, которая задает возможные варианты пределельного поведения траекторий.

С другой стороны, здесь система инварианта на сдвиги
$ \begin{aligned} &\tau \to \tau + 2\pi,\\ &\varphi \to \varphi + 2\pi. \end{aligned} $
А значит фазовое пространство системы -- 2d тор. Значит в классическом варианте теорема Пуанкаре-Бендиксона не работает и нужно применять ее расширение, которое учитывает торы.
Если я правильно понимаю, такое расширение дал Шварц (см. например Katok, Anatole, and Boris Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. No. 54. Cambridge university press, 1995.), теорема 14.3.1.

Приведу эту теорему из той книги:
Пусть $M$ -- гладкая поверхность, $\varphi^t$ -- $ C^2 $ поток, и $A$ -- непустое компактное минимальное множество. Тогда $A$ -- или точка равновесия, или периодическая орбита или $A = M$.

Под минимальным множеством понимается непустое, замкнутое и инвариантное под действием потока $\varphi^t$ множество из $M$, никакое подмножестко которого не обладает теми же свойствами.

Правильно ли я понимаю, что эта теорема запрещает динамический хаос в системе, описанной выше?
Работает ли эта теорема для, например, сфер с большим количеством ручек?..

Я физик, и, увы, пока не освоил все доказательства из этих книг. Заранее спасибо за ответы.

[svv]

Я не знаю ответов на Ваши вопросы, но, может быть, имеет смысл получить из системы одно ДУ первого порядка с независимой переменной $\tau$ и зависимой $\varphi$:
$w\Omega\frac{d \varphi}{d\tau} = i_{dc} + i_{rf}\sin{\tau} - \sin\varphi$
и потом исследовать его?

[AAMstudent]

svv, а ведь правда, можно пойти таким путем! Спасибо. Да, глаз замылился у меня. Хотя в таком виде правая часть не автономна -- не факт, что это поможет.

Хотя если кто-нибудь из математиков пояснит за теорему Шварца -- тоже будет полезно.

[B@R5uk]

Фазовая кривая не может иметь самопересечения по определению. Поэтому, в двумерном случае (на плоскости) фазовая кривая может быть лишь следующими фигурами:

• точкой;
• замкнутой кривой (топологически эквивалентной окружности);
• кривой, например, спиралью (расходящейся или сходящейся) с одним концом в точке, а другим — на бесконечности;
• кривой с обоими концами в точках;
• кривой с обоими концами на бесконечности.

Ничего близкого к хаосу быть не может.

В случае же тороидального фазового пространства появляется качественно новое поведение фазовой траектории: завивка вокруг обоих направлений. При этом завивка может быть замкнута, а может быть незамкнута и плотно заполнять всё фазовое пространство или же его некоторую подобласть. Второй вариант в линейном случае будет просто колебательным процессом с двумя частотами, отношение которых не будет являться рациональным числом (на самом деле это будет линейным процессом по обоим координатам, просто обе координаты зациклены).

В нелинейном же случае всё может быть куда интересней. Траектория всё так же останется зацикленной по координатам и будет плотно заполнять некоторую подобласть фазового пространства, но в силу нелинейности системы в разных её участках будет различное поведение кривой. Причём, от раза к разу оно не будет повторяться, потому что фазовая кривая не является замкнутой. Такого рода процесс вполне себе можно назвать хаотическим. Во всяком случае, по многим параметрам он очень на него будет похож.

Если же завивка происходит только по одному направлению, то фазовая кривая должна прижиматься к некоторой предельной кривой (в обе временные стороны: в каждом случае — к своей кривой). Это как раз интересующий вас случай. У вас уже есть завивка под одному направлению. Так что если будет завиваться ещё и по второму, то всё может оказаться очень плохо. Это будет практически гарантированно, потому что рациональное отношение частот — весьма редкое явление.

[B@R5uk]

AAMstudent, погонял я вашу систему численно. Очень интересная задача. Вот пример ХаОсА:

w = [0.6 2.7 1.9 0.8];


Чуть-чуть совсем поднять нелинейность, и БАЦ! произошёл захват частоты:

w = [0.6 2.7 1.9 0.82];


Две степени свободы системы синхронизовались, и движение в целом стало периодическим.

Код программы:

Используется синтаксис Matlab M

clc
clearvars
format compact

myfunc = @ (t, f, w) [w(1); w(2) + w(3) * sin(f (1)) - w(4) * sin(f (2))];

w = [0.6 2.7 1.9 0.82];
f0 = [0; 0];

[tt, ff] = ode113 (@ (t, f) myfunc (t, f, w), [0, 300], f0,  odeset ('RelTol', 1e-10));

addr = tt > 200;
ff1 = mod (ff (:, 1) / pi, 2);
ff2 = mod (ff (:, 2) / pi, 2);

xx = (2 + cos (ff (:, 2))) .* cos (ff (:, 1));
yy = (2 + cos (ff (:, 2))) .* sin (ff (:, 1));
zz = sin (ff (:, 2));

subplot (3, 1, 1)
plot (tt (addr), ff1 (addr), 'k')
hold on
plot (tt (addr), ff2 (addr))
hold off
grid on

subplot (3, 1, 2 : 3)
plot3 (xx (addr), yy (addr), zz (addr))
axis equal
 

-- 30.10.2022, 00:55 --

Для параметров

w = [0.6 1 1.9 2.3677];

особенно забавная ситуация получается. Вторая переменная на некоторых участках траектории "забывает" сделать оборот вокруг тора:

[AAMstudent]

B@R5uk

Цитата:

Ничего близкого к хаосу быть не может.

-- как я понимаю, чтобы это было так, нужно чтобы векторное поле было достаточно гладким. Пример, когда это нарушается -- Dixon, D. D., F. W. Cummings, and P. E. Kaus. "Continuous “chaotic” dynamics in two dimensions." Physica D: Nonlinear Phenomena 65.1-2 (1993): 109-116. В этой работе векторное поле недифференцируемо в одной точке -- и этого достаточно, чтобы хаос в 2d появился.

Цитата:

Причём, от раза к разу оно не будет повторяться, потому что фазовая кривая не является замкнутой. Такого рода процесс вполне себе можно назвать хаотическим.

На сколько я понимаю, для хаоса нужно два условия: (i) чувствительная зависимость к начальным условиям (a.k.a. положительные ляпуновские экспоненты) на компакте $\Lambda$ и (ii) топологическая транзитивность на компакте $\Lambda$.

Когда мы смотрим линейную систему на 2d торе с иррациональным отношением частот -- то у нас будет (ii), но не будет (i), значит не будет хаоса.

С другой стороны, для нелинейной системы на двумерном торе кажется, что тоже хаоса и странного аттрактора не бывает. Потому как по теореме Шварца -- траектория -- или устойчивая точка, или периодическая орбита или заметает весь тор. Если берем две близкие траектории и смотрим, как они разбегаются -- то можно ли сказать, какая будет чувствительность к начальным условиям? Понятно, что для периодических траекторий или положений равновесия -- скорее всего чувствительности не будет. А вот для траекторий, что заметают весь тор -- интуитивно кажется, что тоже нет по аналогии с линейным случаем. Но вдруг известен пример, когда это не так...

С вашими параметрами сейчас поразбираюсь.

[B@R5uk]

AAMstudent, то есть вы предлагаете делать качественное различие между хаотическим и периодическим апериодическим (за не имением другого названия) процессом?

[AAMstudent]

B@R5uk

Цитата:

, то есть вы предлагаете делать качественное различие между хаотическим и периодическим апериодическим (за не имением другого названия) процессом?

Да, я думаю, что хаотический и апериодический процесс -- это разные вещи. И их разница связана с тем фактом, что у хаотического процесса есть чувствительность к начальным условиям, а у апериодического -- нету. Эта чувствительность детектируется через положительность ляпуновских экспонент.

Для системы из моего первого поста с параметрами, что дают страшную завивку на ваших картинках, я ее посчитал на всякий случай -- и да, она выходит в ноль. (тут нужно было брать достаточно большие времена, чтобы убедиться. Потому как сходимость по времени наблюдения в духе $\lambda_m(t) \sim \log{t}/t$)

(Оффтоп)

если интересно -- могу прислать программы.

Интуитивно кажется, что и для любой сложной завивке на 2д торе будут отрицательные или нулевые ляпуновские экспоненты. Но соответствующей теоремы я еще не встретил.

Цитата:

Две степени свободы системы синхронизовались, и движение в целом стало периодическим.

Это ступенька Шапиро получилась)

[B@R5uk]

AAMstudent, я не знаком с вашим матаппаратом и ляпуновскими экспонентами, к сожалению, поэтому не совсем понимаю, что именно вы проверили.

[AAMstudent]

(Оффтоп)

B@R5uk, просветите пожалуйста: тут в такие темы можно кого-нибудь позвать из математиков, которых запомнил за годы чтения dxdy?

[demolishka]

AAMstudent в сообщении #1568147 писал(а):

Работает ли эта теорема для, например, сфер с большим количеством ручек?

Работает. Шварц общий случай сразу и рассматривал. Есть обзор разных результатов по теории Пуанкаре-Бендиксона тут.

AAMstudent в сообщении #1568147 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что эта теорема запрещает динамический хаос в системе, описанной выше?

Не даром у Шварца говорится про минимальные множества. А $\omega$-предельные множества даже на плоскости минимальными, вообще говоря, не являются. Вопрос конечно еще в том, что считать хаосом. Поскольку это

AAMstudent в сообщении #1568266 писал(а):

чувствительная зависимость к начальным условиям

и это

AAMstudent в сообщении #1568266 писал(а):

a.k.a. положительные ляпуновские экспоненты

суть разные вещи. Но да ладно...

Чтобы прикинуть то, что происходит, рассмотрим отображение за время $2\pi/\Omega$. Это время первого возвращения точки $(\tau,\varphi)$ с окружности $\tau = 0 \pmod{2\pi}$ на себя. Получаем какое-то преобразование этой окружности. Если оно монотонно (положительная производная) и имеет иррациональное число вращения, то по теореме Данжуа сопрягается (гомеоморфизмом) с поворотом окружности на этот угол. В целой системе мы будем наблюдать квазипериодическое движение, плотно заполняющее весь тор. Но так как отображение зависит от параметров, то даже в монотонном случае мы будем часто наблюдать рациональные числа вращения, а иррациональные будут появляться на множестве канторовского типа (см. языки Арнольда). При рациональных числах вращения отображение имеет периодические орбиты (хотя бы одну) с соответствующим периодом кратным знаменателю (возможно эти две ситуации и изображены на первых двух картинках B@R5uk). Так как много каких периодов может вылезти, то вероятен и хаос через каскад бифуркаций удвоения периода. А уж если монотонность нарушается... В общем, теоретически хаос быть может.

[AAMstudent]

demolishka,
спасибо за ответ!

Я пока думаю. Но на всякий случай хочу провентилировать следующее. Заранее прошу прощения за максимально наивные вопросы.

Вот это вот место:

Цитата:

С другой стороны, здесь система инварианта на сдвиги
$ \begin{aligned} &\tau \to \tau + 2\pi,\\ &\varphi \to \varphi + 2\pi. \end{aligned} $
А значит фазовое пространство системы -- 2d тор.

Тут я из того факта, что векторное поле системы из поста инвариантно на сдвиги, делаю заключение, что нужно рассматривать не всю плоскость $(\tau,\varphi)$, а только один квадрат на ней со стороной $2\pi$, отождевствляя его крайние точки.

С другой стороны, можно рассматрвиать и всю плоскость, не делая постоянно изменения точек отсчета, когда кривая вышла за пределы квадрата. Что тогда могут сказать эти теормы (Пуанкаре-Бендиксон и Шварц)?

Не порчу ли я свойства фазового пространства, вводя небрежно отождевствление точек квадрата на противоположных сторонах?

Спрашиваю потому, как это утверждение:

Цитата:

В общем, теоретически хаос быть может.

выглядит удивительным: эта система изучалась и численно и экспериментально -- и хаоса там не было. Возможно я ошибся, заговорив про тор.


И еще один простой вопрос.

Цитата:

Поскольку это

AAMstudent в сообщении #1568266 писал(а):

чувствительная зависимость к начальным условиям

и это

AAMstudent в сообщении #1568266 писал(а):

a.k.a. положительные ляпуновские экспоненты

суть разные вещи.

Казалось бы, что из положительности хотя бы одной ляпуновской экспоненты для данной траектории следует чувствительность системы к начальным условиям, взятым возле какой-нибудь точки возле этой траектории. А почему не получается назад?

[demolishka]

AAMstudent в сообщении #1568965 писал(а):

Что тогда могут сказать эти теормы

Ничего. У Вас траектории не ограничены по $\tau$ и никаких предельных множеств у них в привычном смысле нет. Тор как раз нужен, чтобы говорить про предельные режимы системы и это естественно.

AAMstudent в сообщении #1568965 писал(а):

Казалось бы, что из положительности хотя бы одной ляпуновской экспоненты для данной траектории следует чувствительность системы к начальным условиям, взятым возле какой-нибудь точки возле этой траектории. А почему не получается назад?

В общем случае ни туда, ни сюда не следует. Потому что показатели Ляпунова связаны с поведением решений линейной системы (линеаризации), а чувствительная зависимость связана с поведением решений нелинейной системы. Чтобы сделать какие-то выводы относительно нелинейной системы при известном линейном поведении требуются свойства типа регулярности. Регулярность (над траекторией точки x) это то свойство, которое получается в эргодической мультипликативной теореме (т.е. существование предела из определения ляпуновского показателя вдоль x + спектральные разложения). Свойство регулярности выполняется для типичных (=почти всех) точек любой инвариантной меры. Но будет ли отдельно взятая точка типичной по какой-нибудь мере никто не скажет.

И опять же про "почти все" это не спроста. Один из первых примеров на эту тему — пример Перрона, где у линеаризации вдоль $x$ отрицательный ляпуновский показатель (в смысле верхнего предела), но близкие к $x$ траектории нелинейной системы разбегаются. Аналогично можно построить примеры и для положительного показателя, где будет устойчивость траектории $x$. На самом деле содержательные примеры таких эффектов дают так называемые странные нехаотические аттракторы (strange nonchaotic attractors). Это как раз аттракторы с отрицательными или нулевыми ляпуновскими экспонентами, но чувствительная зависимость от начальных данных там имеется (для простоты можно представлять не экспоненциальную зависимость, а степенную). Эти аттракторы как раз образуются при бифуркациях инвариантных торов. Самый простой случай, это когда единственная инвариантная мера бифурцирует в несколько, но множество остается топологически минимальным. Получается минимальное множество, на котором рекуррентные движения не квазипериодические, а почти автоморфные (правда СНА открыли в 90-е, а почти автоморфность (введенная С. Бохнером в 50-е) изучалась еще Б.М. Левитаном в 30-е годы под названием N-почти периодические функции, правда в контексте гармонического анализа колебательных решений — тут как раз в рядах Фурье вылезают неединственные коэффициенты из-за нескольких инвариантных мер). После может произойти дальнейшее усложнение аттрактора и возникнет "настоящий хаос". Правда в Вашей системе такого видимо не произойдет, поскольку топологически почти автоморфные минимальные множества не является локально линейно связными, а у Вас все ограничено хорошим гладким тором.

AAMstudent в сообщении #1568965 писал(а):

эта система изучалась и численно и экспериментально -- и хаоса там не было

Хаос может быть сложно обнаружить. Тем более, как я уже сказал, картинки очень сильно зависят от параметров и их теоретико-числовых свойств (посмотрите картинки по ссылке). Поэтому в таких случаях вообще возникает вопрос, а что собственно компьютер моделирует? Я Вам дал наводку, где хаос можно искать. Также как в отображении Арнольда окружности нужно искать каскад бифуркаций удвоения периода, развивающегося в хаос.

[AAMstudent]

demolishka,

Цитата:

Поэтому в таких случаях вообще возникает вопрос, а что собственно компьютер моделирует?

Рассматривается задача о вольт-амперной характеристике джозефсоновского перехода под действием постоянного и переменного заданного тока. То есть у вас есть структура типа сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник. Вы прикладываете к ней постоянный ток $i_{dc}$ вместе с переменным $i_{rf}\sin \Omega t$. За счет эффекта близости часть этого тока может протечь через нормальный металл, как сверхпроводящий ток. Соответственно, остаток течет как ток квазичастиц. Появление тока квазичастиц приводит к появлению переменного напряжения на переходе, которое $\sim \dot{\varphi}$, где $\varphi(t)$ -- это разность фаз конденсатов у сверхпроводников. Далее, на эксперименте измеряется усредненное напряжение $\overline{\dot{\varphi}} = (\varphi(T) - \varphi(0))/T$ как функция заданных $i_{dc},i_{rf},\Omega$. (везде говорю в безразмерных еденицах) В итоге получаются ВАХи в духе

.

Если бы возникал хаос в $\varphi(t)$, то тогда его бы экспериментально и численно увидели бы на ВАХах. А его видят, если добавить к переходу электрическую емкость. Но с емкостью там понятно -- на $\varphi(t)$ получается уравнение математического маятника под действием внешней периодической силы. Собственно, система из моего первого поста -- это уравнение маятника без массы.

Соответственно, в учебниках с физическим уровнем строгости есть утверждение, что "хаоса для переходов без емкости не наблюдается". Мне раньше казалось, что для этого должна быть красивая математическая причина в духе теоремы Пуанкаре-Бендиксона ( см. например вступление к главе 14 Hirsch, Morris W., Stephen Smale, and Robert L. Devaney. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Academic press, 2012.). В духе: допустим, есть в двумерии хаотический аттрактор. Берем точку из его бассейна притяжения и смотрим, куда она пойдет под действием фазового потока. А по теореме П.-Б., предельное поведение точки в таком бассейне -- или положение равновесия или предельный цикл или полицикл, значит нет странного аттрактора.

Дальше я стал разбираться по математичексим книгам, так ли это. В начале я понял, что для теоремы П.-Б. нужен скорее тор, далее выяснил про закрутку на торе. Далее посмотрел на картинки B@R5uk, воспроизвел их. Посмотрел численно максимальную ляпуновскую эксопоненту для этой системы при тех параметрах -- 0. И тут вы меня убедили, что может быть сильно не так)

Про странные нехаотические аттракторы я уже нагуглил (хотя картинку в голове пока не сложил -- увы, ваш последний пост пока понять не в состоянии). А хаотические нестранные -- бывают например?..

Можно полную ссылку на пример Перрона?

Наверное, скоро мне пока есть смысл взять паузу, чтобы переваривать такие тонкости, о которых вы сказали.

[demolishka]

Тут

AAMstudent в сообщении #1569045 писал(а):

Поэтому в таких случаях вообще возникает вопрос, а что собственно компьютер моделирует?

имелось в виду, что в случае, когда ответ сильно зависит от теоретико-числовых свойств параметра, возникает вопрос к картинке, которую рисует компьютер. Вот он показывает при каких-то параметрах плотную обмотку, но сколь угодно близко к этим параметрам есть параметры, при которых будут наблюдаться только периодические орбиты. Вопрос, это действительно наблюдается плотная обмотка, или просто длинная периодическая орбита? А если это еще приправить какой-нибудь неустойчивостью (в окрестности хаоса).

AAMstudent в сообщении #1569045 писал(а):

Можно полную ссылку на пример Перрона

Посмотрите ссылки на вики. Но это примеры чисто аналитические, дескать формально бывает и такое. Практику должно быть интересно, что происходит на практике. Вот тут странные нехаотические аттракторы естественно появляются и служат более убедительным примером.

AAMstudent в сообщении #1569045 писал(а):

А хаотические нестранные -- бывают например?..

Здесь вопрос определений.

Интересно вот что. С СНА изначально была вот какая история. Они были открыты экспериментально как странные аттракторы в квазипериодических системах. Люди считали ляпуновские показатели, получали отрицательные значения и думали, что там устойчивость, но при этом наблюдали сложную фрактальную (рваную) геометрическую структуру. Поэтому и назвали их странными нехаотическими. Хотя не так давно явно обсуждалось наличие чувствительной зависимости (см. эту работу), этим недоразумением насчет устойчивости пропитана большая часть работ и монографий. Я знаю несколько работ, где рисуются графики с разбегающимися траекториями, но делается вывод об устойчивости (нехаотичности) системы, как под гипнозом. В общем, "странность" без чувствительной зависимости видимо не появляется. Но это если под странностью понимать не просто фрактальную структуру (так конечно можно возмущать и состояние равновесия нерегулярной квазипериодической силой и получится какое-то фрактальное множество-тор, но он будет устойчивым), а какую-нибудь интересную динамику на нем. И тут как бы "хаотичность" и "интересность" выступают синонимами.

AAMstudent в сообщении #1569045 писал(а):

Посмотрел численно максимальную ляпуновскую эксопоненту для этой системы при тех параметрах -- 0

В случае квазипериодического движения (плотной обмотки тора) должен быть 0 (по обоим направлениям). Ничего странного, так как это движение равномерно устойчиво по Ляпунову. В случае периодической орбиты один показатель (в нашем случае вдоль $\tau$) всегда равен 0, а второй (вдоль $\varphi$) должен быть отрицателен и символизировать притяжение к периодической орбите. Перроновские эффекты касаются более сложных движений (или инвариантных множеств, составленных из множества движений).

Я тут вспомнил еще про эту диссертацию по теме. Там как раз рассматривается отображение возвращения для джозефсоновского контакта (там чуть другое уравнение, но смысл вроде тот же) и структура языков Арнольда для него (там получаются некоторые специфические свойства). Насколько я понимаю из этой работы, строгие аналитические результаты можно получить лишь для некоторых малых или относительно малых параметров.

AAMstudent в сообщении #1569045 писал(а):

Соответственно, в учебниках с физическим уровнем строгости есть утверждение, что "хаоса для переходов без емкости не наблюдается".

Я про эти уравнения (и тем более физический смысл) ничего не знаю и не понимаю, просто часто слышал про какие-то джозефсоновские контакты. А так просто заинтересовался Вашей темой с точки зрения динамики. Для себя немного нового узнал . Меня вот заинтересовал переход к хаосу в отображении Арнольда для окружности через каскад удвоений периода (правда на википедии ссылок нет) и возможность его реализации в Вашем уравнении. Поэтому я бы начал с поиска работ по теме хаоса в таких моделях. Если их нет, то попробовать обнаружить хаос самому. Мало ли, что там физики не наблюдают, а если найду

В общем, держите в курсе.