Проверьте мои рассуждения :)

[Kaji]

Итак, дали мне функцию:

$$ f(x) = (x_1 - a_1 ^2 \cdot x_2 ^2 ) \cdot (x_1 - a_2 ^2 \cdot x_2 ^2 ) $$

,
где $a_1, a_2 = const$
и сказали охарактеризовать точку $x=[0,0]^T$

Для начала я нашел градиент, писать не буду - долго, суть в том, что градиент в этой точке равен нулю, значит точка стационарная (уже хорошо)
Дальше, пытаемся составить матрицу Гессе в этой точке

\[ H_f (x_0 ) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \]

матрица полуопределена, положительно. Я так и не понял до конца что это означает, но похоже что однозначно сказать выпукла ли функция в этой точке сказать нельзя. Пробую найти второй градиент в этой точке (по аналогии с функцией одной переменной, если вторая производная в этой точке обращается в ноль, то это точка перегиба)...
Нашел второй градиент в этой точке:

\[ \nabla ^2 f(x_0 ) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \]

значит не точка перегиба. Остается вариант - седловая точка, но как это доказать математически?
Вот, вобщем может кто поможет?

P.S. Забыл написать, предмет - Методы оптимизации

[Cervix]

Kaji писал(а):

Нашел второй градиент в этой точке:

\[ \nabla ^2 f(x_0 ) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \]

значит не точка перегиба. Остается вариант - седловая точка, но как это доказать математически?
Вот, вобщем может кто поможет?

Где вас такому научили?

[Brukvalub]

Kaji писал(а):

Итак, дали мне функцию:

Kaji писал(а):

и сказали охарактеризовать точку $x=[0,0]^T$

В рамках какой классификации охарактеризовать? Вы изучаете теорию особенностей дифференцируемых отображений, теорию Морса, теорию катастроф, .....

[Kaji]

Cervix писал(а):

Kaji писал(а):

Нашел второй градиент в этой точке:

\[ \nabla ^2 f(x_0 ) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \]

значит не точка перегиба. Остается вариант - седловая точка, но как это доказать математически?
Вот, вобщем может кто поможет?

Где вас такому научили?

сам придумал просто нигде не смог найти как определить точку перегиба если функция с несколькими переменными...

Добавлено спустя 3 минуты 15 секунд:

Brukvalub писал(а):

Kaji писал(а):

Итак, дали мне функцию:

Kaji писал(а):

и сказали охарактеризовать точку $x=[0,0]^T$

В рамках какой классификации охарактеризовать? Вы изучаете теорию особенностей дифференцируемых отображений, теорию Морса, теорию катастроф, .....

нет, такого мы не изучаем, нужно узнать что за экстремум у этой функции в данной точке (мининум, максимум, т. перегиба, или седловая точка)

[GAA]

Kaji писал(а):

... Я так и не понял до конца что это означает, но похоже что однозначно сказать выпукла ли функция в этой точке сказать нельзя.

Рассматриваемая функция в начале координат экстремума не имеет.
Для доказательства этого проще всего построить линии нулевого уровня [поскольку в начале координат функция равна нулю] и расставить знаки функции в областях, на которые разбивают плоскость эти линии уровня. Окажется, что в любой сколь угодно малой окрестности начало координат найдутся как точки, в которых функция больше нуля, так и точки, в которых функция меньше нуля. Следовательно — в начале координат экстремума нет.
Добавлено
Насколько я знаю, нет такого термина «седло». «Седла» бывают очень разными, например, «обезьяньими». В данном случае, на некоторых путях проходящих через начало координат функция в начале координат будет иметь максимум, а на других путях — минимум. [Однако в качестве таких путей нельзя выбрать прямые линии].

[bot]

GAA писал(а):

[Однако в качестве таких путей нельзя выбрать прямые линии].

С точностью до наоборот или я неправильно понимаю написанное. Линии нулевого уровня функции - это две параболы (при $a_1^2\ne a_2^2$) с общей вершиной в начале координат, они и разбивают плоскость на части, в которых функция знакопостоянна. На любой прямой, проходящей через начало координат в силу выпуклости параболы имеется отрезок, содержащий это начало внутри, на котором функция положительна, то есть на любой прямой, проходящей через начало координат функция будет в этом начале условный минимум.

[GAA]

Спасибо bot. Неудачно выразился. Желал выразить следующее: не найдется таких прямых линий, на которых функция имеет в начале координат условный минимум, тогда как на других [прямых линиях] — условный максимум.

[Kaji]

А вот еще вопрос: как вообще находятся точки перегиба функции векторного аргумента?
и какие еще можно исследования произвести над функцией, если матрица Гессе полуопределена в конкретной точке? Както этот момент умалчивается во всех источниках, мол надо прибегать к производным высших порядков,и всё, молчок... а это какраз бы мне сейчас помогло...

[Алексей К.]

Kaji писал(а):

А вот еще вопрос: как вообще находятся точки перегиба функции векторного аргумента?

Если мне объяснят, что такое точка перегиба [графика?] функции нескольких переменных, то я буду признателен. Пока предполагаю, что автор ошибается, и такого понятия не существует... При появлении хотя бы второй переменной разнообразие характеров точек увеличивается, но указанного понятия, насколько мне известно, не включает.

[Kaji]

Алексей К. писал(а):

Kaji писал(а):

А вот еще вопрос: как вообще находятся точки перегиба функции векторного аргумента?

Если мне объяснят, что такое точка перегиба [графика?] функции нескольких переменных, то я буду признателен. Пока предполагаю, что автор ошибается, и такого понятия не существует... При появлении хотя бы второй переменной разнообразие характеров точек увеличивается, но указанного понятия, насколько мне известно, не включает.

ну да, наверно ошибся, вопрос звучит "для функции векторного аргумента", просто я думал это одно и тоже (наивняк повидимому)

[Алексей К.]

Почитал внимательнее, и решил, что Вы, автор, придумали точку перегиба, перенеся её автоматом из задач на исследование функций одной переменной. А при двух переменных классификация "интересных" точек другая. Скажем, в одном сечении точка может быть перегибной, или вообще неинтересной, а в другом --- экстремальной. Видимо,термины эллиптическая, параболическая, гиперболическая (последняя --- седловая?) за это отвечают. К сожалению, книг для освежения знаний под рукой нет, а интернетом пользоваться сегодня не умею...

[Kaji]

Алексей К. писал(а):

Почитал внимательнее, и решил, что Вы, автор, придумали точку перегиба, перенеся её автоматом из задач на исследование функций одной переменной. А при двух переменных классификация "интересных" точек другая. Скажем, в одном сечении точка может быть перегибной, или вообще неинтересной, а в другом --- экстремальной. Видимо,термины эллиптическая, параболическая, гиперболическая (последняя --- седловая?) за это отвечают. К сожалению, книг для освежения знаний под рукой нет, а интернетом пользоваться сегодня не умею...

да, я действительно, думал по началу, что там много общего, просто препод написал мне на мой ответ про точки перегиба для обыкновенной функции, типа, а если рассматривать функцию векторного аргумента?... подколоть решил видимо

[ewert]

ну а если так по-деццки рассудить. Да, гессиан там нулевой, стал быть, под стандартную классификацию этот случае не подпадает.

Но! зато формула там уж шибко простая: $f(x,y)=(y-Ax^2)(y-Bx^2)$.

Каждый сомножитель приравниванием себя к нулю делит плоскость на две части, причём, заметьте -- совершенно разные части.

Соотв., никто не может запретить назвать эту точку при желании точкой перегиба или там каким-нить седлом. В том смысле, что в сколь угодно малой окрестности её найдутся точки как с положительными, так и с отрицательными значениями $f(x,y)$.

Но -- это только если $A\ne B$. А если равны, то это -- точка минимума, причём глобального; и пусть патологически не единственная -- что уж тут поделаешь.

[Kaji]

всем спасибо за умные мысли, очень помогли, работа зачтена, тему можно закрыть