Отображение и семейство.

[Alexey Rodionov]

Отображение - это тройка: область определения, область значений и график. Для равенства отображений должны совпадать все три элемента. А семейство - это та же тройка, но для равенства семейств необходимо и достаточно совпадения областей определения и графиков. Матрица, на пример, это не отображение, а семейство (Н. Вавилов). Вопрос: в англоязычной литературе "семейство" встречается? На слово "family" ничего похожего из сети не вываливается. Мне бы ссылочку на книжку или статью. Заранее благодарен.

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov в сообщении #1567963 писал(а):

Матрица, на пример, это не отображение, а семейство

Странная терминология. По мне так матрица - это вполне себе отображение. А семейство - это синоним множества.

[svv]

https://en.wikipedia.org/wiki/Family_of_curves

[EminentVictorians]

Если уж придерживаться такой терминологии, то переход от отображений к семействам - это факторизация отображений, при которой откидывается признак "область значений", как несущественный. Возьмем, например, матрицу $(0)$ размера $1$ на $1$. $0$ в данном случае - обычный натуральный ноль. Если считать матрицу семейством, как тогда понять, над чем эта матрица задана? Например, она над $\mathbb Q$ или над $\mathbb R$?

[Alexey Rodionov]

EminentVictorians в сообщении #1567964 писал(а):

Alexey Rodionov в сообщении #1567963 писал(а):

Матрица, на пример, это не отображение, а семейство

Странная терминология. По мне так матрица - это вполне себе отображение. А семейство - это синоним множества.

И мне странно было. Потом привык.
Цитирую.
Н. Вавилов "Не совсем наивная теория множеств"
Списано с https://www.studmed.ru/vavilov-n-a-ne-s ... f1424.html
стр. 16 : В то же время семейство есть отображение, рассматриваемое с точностью до равенства, не учитывающего область значений.

Н. Вавилов "Конкретная теория колец"
Списано с https://es.b-ok.lat/book/2462162/02a157
Стр. 87 : Матрицы. Формально, матрица — это просто семейство, индексированное двумя аргументами.
На той же странице тоже самое подробнее.
У меня вопрос про "семейство" в англоязычной литературе именно в смысле "Не совсем..."

[Alexey Rodionov]

Если это кому-нибудь еще итересно. Информация от возмутителя моего спокойствия.

Indexed family
More formally, an indexed family is a mathematical function together with its domain I and image X. (i.e., indexed families and mathematical functions are technically identical, just point of views are different.) Often the elements of the set X are referred to as making up the family. In this view, indexed families are interpreted as collections of indexed elements instead of functions. The set I is called the index set of the family, and X is the indexed set.

Это стандартное словоупотребление. Вы видите, DOMAIN and IMAGE,
в отличие от DOMAIN and CODOMAIN для отображений.

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov в сообщении #1568028 писал(а):

Indexed family
More formally, an indexed family is a mathematical function together with its domain I and image X. (i.e., indexed families and mathematical functions are technically identical, just point of views are different.) Often the elements of the set X are referred to as making up the family. In this view, indexed families are interpreted as collections of indexed elements instead of functions. The set I is called the index set of the family, and X is the indexed set.

Это ведь уже совсем другая тема. Ну да, индексированное множеством $A$ семейство элементов из $B$ - это функция $A \to B$.

*Семейство я тут имел в виду в обычном смысле, как синоним множества.