Не понимаю формулировку

[sour]

Мне встретилась задача, в которой надо доказать, что если $A$ - область целостности, такая, что существует отображение $N \colon A\setminus\{0\} \mapsto \mathbb{N}$, т.ч. если $N(a) \ge N(b)$, то либо $b | a$, либо $a = bq + r$, где $N(r) < N(b)$, то $A$ - кольцо главных идеалов.

Я доказал утверждение, но я не понимаю, зачем в формулировке говорится про область целостности. Разве это выполняется не для любых колец?

(Оффтоп)

Пусть $I \subseteq A$ - идеал в $A$, $b \in I$ и $\forall x \in I N(x) \ge N(b)$. Понятно, что $(b) \subseteq I$. Предположим, что $\exists a \in I \setminus (b)$, тогда $N(a) \ge N(b)$ и при этом $b \nmid a$, значит $a = bq + r$, где $N(r) < N(b)$. $r=a-bq \in I$, значит в $I$ есть элемент $r$, такой, что $N(r) < N(b)$, противоречие. Значит $I \subseteq (b) \Rightarrow I = (b) \Rightarrow I$ - кольцо главных идеалов. В решение никак не используется, что $A$ - область целостностности.

[warlock66613]

Обычно кольцо главных идеалов обязано быть областью целостности по определению. Если в вашем случае определение именно такое ("кольцом главных идеалов называется область целостности, в которой…"), то это и есть ответ на ваш вопрос: даже если вы доказали, что любой идеал главный, этого недостаточно, чтобы кольцо было кольцом главных идеалов.

-- 27.10.2022, 18:18 --

А ещё кажется вот тут есть неточность в вашем доказательстве, ведь $x$ может быть нулевым:

sour в сообщении #1567951 писал(а):

$\forall x \in I N(x) \ge N(b)$

В не-областности целостности эта неточность может стать проблемой. Но даже если и нет и доказательство проходит, то см. выше.