Как пополнить рациональные числа?

[Markiyan Hirnyk]

Хорошо известная теорема утверждает, что любое метрическое пространство может быть пополнено. Ее доказательство по существу использует полноту вещественных чисел. Рациональные числа $\mathbb Q$ можно рассматривать как неполное метрическое пространство с метрикой $ d:(x,y) \to |x-y| $. Возникает вопрос: можно ли пополнить метрическое пространство $(\mathbb Q,d)$ без применения действительных чисел? Если я правильно помню, то видел эту конструкцию в курсе математического анализа, прочитанном в Московском университете в 70-х годах 20-го века. Насколько припоминаю, аккуратное построение занимало порядка 10-20 страниц текста в ротапринтном издании курса. Доказательство и/или ссылки приветствуются.

[vpb]

Калужнин, Введение в общую алгебру, глава 5, параграф 6. Или во многих других местах, несомненно.

[Markiyan Hirnyk]

vpb
Спасибо. Увы, там доказательство ключевого Предложения 10 в параграфе 6 неполно и доказательства нескольких принципиальных и неочевидных утверждений предлагаются читателю в качестве упражнений. См. здесь.

[Null]

Пишите задачи сюда. Будем разбираться.

[Markiyan Hirnyk]

Null
Предыдущий мой вопрос такого сорта супермодератор переадресовал именно в этот раздел. Если у Вас имеется конструктивный ответ на поставленный вопрос, буду признателен.

[Padawan]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1567933 писал(а):

Возникает вопрос: можно ли пополнить метрическое пространство $(\mathbb Q,d)$ без применения действительных чисел?

Нет, поскольку понятие метрического пространства основано на понятии действительного числа.

Нужно рассматривать топологические группы и пополнять их относительно их равномерной структуры. См. Бурбаки Н. - Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства-Наука (1969) (открывайте на стр. 53, конкретно про получение вещественных чисел из рациональных -- начиная со страницы 137)

[Markiyan Hirnyk]

Padawan
Спасибо за ссылки. Посмотрел я эту стр. 137 и даже дошел до с. 139 и понял, что в некотором смысле это пополнение можно сделать, т. е. построить полное метрическое пространство $\mathbb R$, применяя только поле рациональных чисел $\mathbb Q$ и функцию $d:\mathbb Q^2\to \mathbb Q $, что и провозглашено в книге Л. Калужнина. Перелистал страницы указанной Вами книги, начиная со стр. 53 (и перед ней), и указанной Вами конструкции в деталях не нашел. Читателя отсылают к другим страницам и главам. Книги Н. Бурбаки не являются учебной литературой для студентов младших курсов. Питаю надежду, что заданный мною вопрос изложен в деталях в учебной литературе, доступной студентам младших курсов математических специальностей.

-- 27.10.2022, 18:14 --

Null
В частности, буду признателен Вам за подробное доказательство Предложения 10 в гл. 5, параграфе 6 вышеуказанной книги Л. Калужнина.

[мат-ламер]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1567973 писал(а):

Питаю надежду, что заданный мною вопрос изложен в деталях в учебной литературе, доступной студентам младших курсов математических специальностей.

Посмотрите ван дер Варден "Алгебра", пар.78.

-- Чт окт 27, 2022 22:50:15 --

Смотрите также "Энциклопедия элементарной математики", т.1, раздел 2 - "Понятия множества ...", гл.6 "Поле действительных чисел".

-- Чт окт 27, 2022 22:53:37 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1567933 писал(а):

Возникает вопрос: можно ли пополнить метрическое пространство $(\mathbb Q,d)$ без применения действительных чисел?

Padawan в сообщении #1567967 писал(а):

Нет, поскольку понятие метрического пространства основано на понятии действительного числа.

Вероятно вопрос состоит в том, как определить понятие действительного числа с помощью фундаментальных последовательностей? (Если ориентироваться на заголовок темы).

[Markiyan Hirnyk]

мат-ламер

Цитата:

Посмотрите ван дер Варден "Алгебра", пар.78.

Спасибо, посмотрел. В издании 1976 года смысл написанного на стр. 282-283 при доказательстве "теоремы Коши о сходимости" мне непонятен, возможно, из-за некачественного перевода (В те годы распространенное явление: много ошибок в трехтомнике Вагнера "Основы исследования операций" и книге де Брёйна "Асимптотические методы в анализе", перечень можно продолжить.).

Цитата:

Смотрите также "Энциклопедия элементарной математики", т.1, раздел 2 - "Понятия множества ...", гл.6 "Поле действительных чисел".

Спасибо, постараюсь посмотреть завтра, т.к. сейчас позднее время.

[Markiyan Hirnyk]

мат-ламер Еще раз спасибо. "Энциклопедия элементарной математики", т.1, раздел 2 - "Понятия множества ...", гл.6 "Поле действительных чисел" - именно то, что требовалось.