Школьный интеграл из Пратусевича

[мат-ламер]

В школьном учебнике алгебры и начал анализа за 11 класс (Пратусевич М.Я. и др.) набрёл на такую задачу. Вычислить интеграл $\int x^2\sqrt{1+x^2}dx$ (задача IX.164.б). Интеграл легко считается через гиперболическую подстановку. Однако гиперболические функции в этом учебнике не изучаются. Можно применить первую подстановку Эйлера $\sqrt{1+x^2}=t-x$ . Это будет нудновато. Да и такая подстановка тоже в учебнике не изучается, а самому догадаться до неё будет сложно. Можно применить тригонометрическую подстановку $x = \tg t$ . Но это уже будет сильно нудновато. Или взять такую последовательность подстановок: $x = 1 \slash t$ , $u=t^2+1$ . Также занудно. Мне просто интересно, а как предполагали вычисление этого интеграла авторы учебника? Может тут есть какой-то простой способ, который я не вижу?

[gefest_md]

В пункте а) просят найти $\int \sqrt{1+x^2}\, dx$. Может его надо использовать? По частям как-то?

-- Вт окт 25, 2022 12:04:12 --

Но задача относится к группе упражнений «интегрирование методом подстановки».

[TOTAL]

gefest_md в сообщении #1567681 писал(а):

В пункте а) просят найти $\int \sqrt{1+x^2}\, dx$. Может его надо использовать? По частям как-то?

Если по частям, затем использовать, то просто

$$4\int x^2(1+x^2)^{1/2}\, dx=x(1+x^2)^{3/2}-\int (1+x^2)^{1/2}\, dx$$

[мат-ламер]

Спасибо! Про интегрирование по частям я подумал, но мне оно показалось сложным, до конца я не довёл, учитывая, что задачи на этот метод там начинаются в следующем разделе. Интеграл из пункта а) обычно присутствует во всех учебниках (хотя у Пратусевича его нет). Он по частям сводится к более лёгкому интегралу, в котором корень уже в знаменателе. А если считать подстановкой (учитывая, что гиперболические подстановки и подстановки Эйлера не изучались), то наверное через тангенсную, что возможно нудновато будет. Сейчас попробую для интереса хотя бы начать.

-- Вт окт 25, 2022 16:04:18 --

gefest_md в сообщении #1567681 писал(а):

В пункте а) просят найти $\int \sqrt{1+x^2}\, dx$.

Кстати, если этот интеграл считать через подстановки $x=\tg t$ и затем $u= \sin t$ , то приходим к интегралу от $(1-u^2)^{-2}$ . Как считать такой интеграл, в учебнике не написано. Догадаться использовать интегрирование по частям также непросто. У меня такое мнение, что либо эта задача для особо талантливых, либо для тех, кто читает что-либо дополнительно к учебнику. Однако, задача идёт без звёздочки.

[svv]

Кстати, у Пратусевича ошибка в ответе. (Ответы в другой книге — Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Методические рекомендации.) В первом слагаемом коэффициент $\frac 1 2$, а должен быть $\frac 1 4$.