2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ошибка wolframalpha
Сообщение24.10.2022, 20:55 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Наткнулся тут на странное поведение wolframalpha, да даже откровенно глючное.
Вот это уравнение заявляет что не имеет решений в целых: $32p=14q^2+2=15r^2+1$.
Однако вот так решения в целых неожиданно находятся: $32\cdot1523=14q^2+2=15r^2+1$.
Но мало. Их же по идее должна быть бесконечная серия (для трёх неизвестных). Собственно решения должны повторяться по модулю или $210$ или $3360$, ну или ещё какому не слишком большому.
При этом отдельные пары уравнений или даже их совокупность (до трёх неизвестных, потом решения резко становятся кардинально сложнее), но максимум с одним неизвестным в квадрате, вполне себе решает.

То есть это у них типа такая недоработка в решении диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными неизвестным в квадратах, так что ли? Беда однако, самому их решать убиться можно ... Не то чтобы совсем уж сложно, но муторно и как-то не выходит автоматизировать (с помощью PARI).
У кого какие соображения будут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение24.10.2022, 23:12 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Если $pqr$ поменять на $xyz$, то результат меняется, но всё равно неадекватен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение24.10.2022, 23:28 


20/04/10
1776
Скачайте математику и установите. Вольфрам альфа выдаёт тот же результат даже если удалить $32$. Если не лень, то решите сначала первое, оно легко решается. Затем подставить решение и решить второе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение24.10.2022, 23:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Да мне проще программу на PARI написать с перебором всех остатков по какому-нибудь модулю (например $\operatorname{lcm}(2^5,3,5,7)=3360$), которая подберёт все возможные остатки для всех переменных по этому модулю и потом уже по любой из переменных организовать основной цикл перебора.
Тем более что объяснить вольфрамальфа искать решения не просто в целых, а в простых мне так и не удалось, или не понимает условие, или не ищет (виснет). И даже для исключения кратных двум и трём приходится руками все переменные заменять по принципу $q \to (6q+1)$ не забывая опять же руками перебирать все комбинации знаков при этом ... :facepalm:
Но им весьма удобно было проверять есть ли решения вообще, хотя бы в целых, их довольно часто нет, а потом уж разбираться простые они или какие. Но если он ошибочно заявляет что решений нет когда они точно есть ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 00:20 


20/04/10
1776
Забросили просто этот проект, не нужен он никому, кроме студентов. К тому же конкурентов достаточно.

На всякий случай:
решение первого
https://www.wolframalpha.com/input?i=32p%3D14*q%5E2%2B2+over+integer Две серии. Нужно их подставить во второе. Похоже, что бесконечной серии не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 00:38 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Раз не будет бесконечной - это тоже ошибка. Про $15r^2+1$ не уверен на 100% (хотя принцип ровно тот же), а вот про $21r^2-5$ вполне себе уверен, в первом сообщении есть ссылка с объяснением и ссылкой на рекуррентную формулу решений, я её проверил и в отличии от вольфрамальфа нашёл не два решения, а много (ограничился до $32p<10^{35}$):
14*11^2+2=21*9^2-5=32*53
14*109^2+2=21*89^2-5=32*5198
14*105731^2+2=21*86329^2-5=32*4890831908
14*1046629^2+2=21*854569^2-5=32*479251615343
14*1015229051^2+2=21*828931049^2-5=32*450926886372532763
14*10049731549^2+2=21*8205571449^2-5=32*44186233090547598488
14*9748229241971^2+2=21*7959395846169^2-5=32*41574738342383092554734618
14*96497521286869^2+2=21*78789896198729^2-5=32*4073900081348009406283922633

(Оффтоп)

lel0lel в сообщении #1567616 писал(а):
К тому же конкурентов достаточно.
А скажите про конкурентов? Чтоб решали произвольные уравнения, не только в целых? И чтоб онлайн, без установок на комп? И чтоб более-менее понятно для нематематика, а то вон PARI/GP возможно тоже умеет решать уравнения, но как его заставить я без понятия.

(Оффтоп)

Отдельно бесит его принцип везде ставить $-An$, хотя $n$ ведь в $Z$ и знак то уж можно любой брать ... Плюс выражения типа $r=27-8n$ - а что, взять $27$ по модулю вера не позволяет?! Мрак, всё приходится вручную за ним править, а это лишние ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 00:45 


20/04/10
1776
Dmitriy40 в сообщении #1567618 писал(а):
Раз не будет бесконечной - это тоже ошибка
Да, согласен. Находит только наименьшие.

-- Вт окт 25, 2022 01:08:24 --

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1567618 писал(а):
А скажите про конкурентов? Чтоб решали произвольные уравнения, не только в целых? И чтоб онлайн, без установок на комп?
думаю, что я не столь хороший советчик в этом вопросе. Из того, что на слуху -- это PARI/GP и SAGE math. Хотя сам я по привычке использую Wolfram на компьютере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 11:10 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Dmitriy40
Вот, что известно про диофантовы уравнения:
(из ру-вики)
С одной строны:
Цитата:
Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.[8]

То есть не существует и не может существовать "универсального решателя", который решит любое диофантово уравнение.

С другой стороны:
Цитата:
Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.


То есть для некоторых классов уравнений проблема рассмотрена до конца и решатели существуют. В том числе для Пелль-подобных уравнений вида $a n^2 - b m^2 = \pm N$, так как это уравнения второй степени с двумя неизвестными.
Но у Вас-то получилась система из двух уравнений второй степени для трех переменных.
А куда податься бедному крестьянину Вольфраму, если для заданной задачи у него решателя в мозгах нет? Только уходить в перебор (за конечное разумное время).
Насколько понимаю, всё это должно быть видно в разделе "Step-by-step solution", но это доступно, насколько помню, по платной подписке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
EUgeneUS в сообщении #1567650 писал(а):
А куда податься бедному крестьянину Вольфраму, если для заданной задачи у него решателя в мозгах нет?
Честно признаться "не знаю". Sage так умеет (и очень любит говорить на любой чих, предполагая что любая переменная может внезапно оказаться комплексной, выражение под корнем отрицательным и т.д. - в этой части вольфрам лучше, делая разумные предположения об условиях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 12:04 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
EUgeneUS
Про полную исследованность уравнений второй степени в вики видел, вот только метода решения (понятного!) быстро не нашёл.
А в одном каком-то курсе видел что для частного случая $Ax^2+By^2=C, A,B,C>0$ легко решается перебором по $A$ или $B$ (что в общем очевидно), а вот для случая $A<0$ или $B<0$ простого метода нет и придётся или искать противоречие по какому-то модулю (если решений нет), или выдумывать метод решения для каждого конкретного значения коэффициентов. Возможно общий метод есть (хотя пока не наткнулся), но вероятно он над каким-то полем/кольцом над комплексными числами (типа чисел Гаусса) и сложен для понимания.
То что переменных три (и уравнений два) не принципиально, и без $32p$ решаются отвратительно и некорректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 13:02 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Dmitriy40

Для одного отрицательного коэффциента:
1. $x^2 - d y^2 = 1$ - классическое уравнение Пелля. Про него всё известно. Всегда есть бесконечная серия и есть реккурентная формула.

2. $x^2 - d y^2 =  -1$ - "отрицательное" уравнение Пелля. Для некоторых $d$ есть бесконечная серия, для некоторых - нет решений. Как его решать, вроде бы тоже известно\понятно.

3. Более общие случаи:
$$x^2 - d y^2 = N$$
$$c x^2 - d y^2 = 1$$
$$c x^2 - d y^2 = N$$

Тут уже более специальную литературу надо читать ;).
Но в контексте наших задач возникает часто (почти всегда) одно и тоже Пелль-подобное уравнение: $3 x^2 - 2 y^2 =1$, про которое (благодаря консультациям старших товарищей) тоже всё известно.

-- 25.10.2022, 13:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1567673 писал(а):
без $32p$ решаются отвратительно и некорректно.


А можно пример, чтобы Вольфрам некорректно решил уравнение вида $c x^2 - d y^2 = N$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 14:06 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
EUgeneUS в сообщении #1567686 писал(а):
А можно пример, чтобы Вольфрам некорректно решил уравнение вида $c x^2 - d y^2 = N$?
Так ведь пример был выше: $14q^2+2=21r^2-5$, Вы же сами дали (в основной теме) ссылку на его решение, по которому я и нашёл приведённые выше решения, а вольфрамальфа их не нашёл. Т.е. если вместо серии даёт лишь ограниченное количество решений - считаю решение некорректным, потому что это очень важное отличие в контексте основной задачи.
EUgeneUS в сообщении #1567686 писал(а):
Но в контексте наших задач возникает часто (почти всегда) одно и тоже Пелль-подобное уравнение: $3 x^2 - 2 y^2 =1$, про которое (благодаря консультациям старших товарищей) тоже всё известно.
Не скажите, далеко не только такое:
$143q^2-7=15r^2+1$
$143q^2-7=10r^2+6$
$143q^2-7=21r^2-5$
$143q^2-7=35r^2-3$
$143q^2-7=14r^2+2$
И это только с $143q^2-7$ (правда не все они допустимы по другому квадрату), а ещё все они могут быть и с $143q^2+1$, вообще же таких уравнений несколько десятков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка wolframalpha
Сообщение25.10.2022, 14:22 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Вот в таком виде:

Dmitriy40 в сообщении #1567697 писал(а):
$14q^2+2=21r^2-5$,

Вольфрам узнаёт Пелль-подобное уравнение и даёт бесконечную серию.

А вот в таком виде (как в Вашем примере выше) $32(28n^2+91n+74)=21r^2-5$ over integer - да, не узнаёт Пелль-подобное уравнение. И дает немного решений. Хотя оно сводится к виду $A x^2 - B y^2 = C$

-- 25.10.2022, 14:29 --

Кстати, во втором случае Вольфрам предупреждает:
Цитата:
Standard computation time exceeded...


И предлагает заплатить денех.

Так что, я так думаю, что если
а) уравнение второй степени от двух переменных.
б) сообщения о нехватке "стандартного" времени нет.
То результатам доверять можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group