Стереометрия (матмех)

[kpierre]

Добрый день!

Помогите пожалуйста в решении такой задачи:

К сфере, вписанной в треугольную пирамиду, проведены касательные плоскости, параллельные граням пирамиды. Вокруг четырех пирамид, отсекаемых этими плоскостями от исходной пирамиды, описаны сферы. Радиусы трех из них равны 10. Найти радиус четвертой сферы, если известно, что радиус описанной сферы исходной пирамиды равен 19.

На всякий случай, ответ: 8

Премногим благодарен.

[Dimoniada]

Верно, 8

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Диаметр описанной сферы около данного тетраэдра равен сумме радиусов описанных сфер маленьких пирамидок

[kpierre]

Dimoniada писал(а):

Верно, 8

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Диаметр описанной сферы около данного тетраэдра равен сумме радиусов описанных сфер маленьких пирамидок

Спасибо, но можно чуть подробнее? Никак не могу понять, как этого достичь.

[TOTAL]

kpierre писал(а):

Dimoniada писал(а):

Диаметр описанной сферы около данного тетраэдра равен сумме радиусов описанных сфер маленьких пирамидок

Никак не могу понять, как этого достичь.

Вычислением объёма пирамиды разными способами докажите, что

$$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} +\frac{1}{h_3} +\frac{1}{h_4}$$

,
где $r$ - радиус вписанного в пирамиду шара, $h_i$ - её высоты.
Затем для радиусов описанных шаров:

$$\frac{R_i}{R}=\frac{h_i-2r}{h_i}$$

[kpierre]

TOTAL

Большое спасибо!