кривая x^2*y^4-x^4*y^2-y^2+x^2 -b^2*x^2*y^2=0

[Volik]

Всем доброго дня. Помогите моему склерозу. Давненько Гугл нашел страничку о кривых рода больше 1. Вроде там утверждалось, что на них не более 24 рациональных точек, да и то не все подряд. Сегодня ни Гугл, ни Яндекс, ни Яху не нашли. Пожалуйста, подскажите или ссылочку дайте.
А конкретно, ищу рациональные точки на кривой $ x^2 y^4-x^4 y^2-y^2+x^2 -b^2 x^2 y^2=0$
Для нее Maple дает род 5. Для любого фиксированного b есть двойная точка $x=0,y=0$. Для частного случая $b=\frac{1-i^2}{i}$, добавляются 8 точек $[x=\pm 1, y=\pm i], [x=\pm 1, y=\pm /i]$
Если есть точка $x=j,y=k,[ (j,k) \ne 0 \ne \pm 1]$, то на кривой добавляются 16 точек с любой комбинацией $x=\pm j,y=\pm k,x=\pm 1/j,y=\pm 1/k$
Например, при $b = 448/51$ ,$j = 9/17, k = 1/9$. Таких частных случаев можно привести множество.
Может кто подскажет, как найти все b, при которых исходное уравнение имеет отличное от тривиального рациональное решение?
Но, главное, действительно ли на кривой рода больше 1 не более 24 рациональных точек

[scwec]

Volik в сообщении #1567294 писал(а):

Но, главное, действительно ли на кривой рода больше 1 не более 24 рациональных точек

Нет.
Вот простой пример кривой с родом $5$ и $26$ рациональными точками на ней.
$y^2=(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)(x^2-16)(x^2-25)(x^2-1/8100)+1$

[Volik]

Спасибо. Может опять мой склероз подводит. Может там писалось о 28 или даже 32 точках! Я уже просил товарища, свободно владеющего английским, поискать. Но он далек от этой темы и пока ничего. Может я перепутал и речь шла вообще о точках эллиптической кривой ранга 0?

[Volik]

Правильно ли я понял Ваш пример? Что можно можно построить кривые со сколь угодно большим, но конечным, числом рациональных точек? Например, кривая $(x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) (x-x_4) (x-x_5) (x-x_6)-y^2+y_0^2$ имеет род 2 и 12 только тривиальных рациональных точек.

[scwec]

Volik в сообщении #1568190 писал(а):

Правильно ли я понял Ваш пример? Что можно можно построить кривые со сколь угодно большим, но конечным, числом рациональных точек?

Да, это понято правильно.

Volik в сообщении #1568174 писал(а):

Может я перепутал и речь шла вообще о точках эллиптической кривой ранга 0?

На эллиптических кривых нулевого ранга количество рациональных точек не больше $16$ - это следует из классификации Мазура подгрупп кручения на эллиптических кривых.

Что касается числа $24$. Оно фигурирует у Острика и Цфасмана, но это о ранге эллиптических кривых.
Они пишут "Сейчас известны кривые ранга до $24$" (сейчас - это 2001 год издания книги).
С 2006 года известна кривая, ранг которой не менее $28$.

[Volik]

Большое спасибо за исчерпывающий ответ!