Максимизация функционала

[vlad_light]

Пусть

$$(Ax)(t) = \int _0^t x(u) \sum _{m=1}^Mk_m \exp (-\frac{t - u}{\tau _m}) du,$$

где $k_m\in \mathbb R, \tau_m > 0$. Нужно найти $x$ такую, что: $(Ax)(T) \to \max$ или $\|Ax\|_2 \to \max$ (это разные задачи) при условии $\dot x(t) < C, t\in [0,T]$ и $x(t) = f(t), t \in [0, T_0], T_0 < T$.
Как решаются такие задачи? Подойдет также решение на сетке $t\in \mathbb N \cap [0, T]$, на практике $T\sim 100$.

[Doctor Boom]

vlad_light в сообщении #1567067 писал(а):

Нужно найти $x$ такую, что: $(Ax)(T) \to \max$

Тут зависит от промежутков, где сумма экспонент отрицательна и положительна (а также от интегралов на этих промежутках). Для частных случаев у меня вышло, что после $T_0$ должно быть $f'(x)=1$ если максимум не бесконечен , а если он бесконечен то на отрицательном промежутке нужно устремить функцию к минус бесконечности (первая производная снизу ничем не ограничена)

[amon]

vlad_light в сообщении #1567067 писал(а):

Нужно найти $x$ такую, что: $(Ax)(T) \to \max$

По $t$ продифференцировать не пробовали? Получится простое линейное интегральное уравнение, которое решается чуть ли не аналитически. Для второго случая чуть сложнее - уравнение нелинейное, но на машинке вроде тоже проблем больших нет.