Доказательство формулы Сохоцкого

[artempalkin]

Такое вот доказательство в учебнике Владимирова (а еще есть учебник Коровиной, в котором вообще 90% как во Владимирове...):

$\left(\frac 1{x+0i},\varphi\right)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0+}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x+i\varepsilon}dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0+}\int\limits_{-R}^{R}\frac {(\varphi(x)-\varphi(0)+\varphi(0))(x-i\varepsilon)}{x^2+\varepsilon^2}dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0+}\int\limits_{-R}^{R}\frac {(\varphi(x)-\varphi(0))(x-i\varepsilon)}{x^2+\varepsilon^2}dx+...$

Там второй интеграл, но я не стал его переписывать, с ним все ясно. Вопрос по этому интегралу. Похоже, Владимиров здесь совершает предельный переход $\varepsilon\to 0+$ под знаком интеграла
$\lim\limits_{\varepsilon\to 0+}\int\limits_{-R}^{R}\frac {(\varphi(x)-\varphi(0))(x-i\varepsilon)}{x^2+\varepsilon^2}dx=\int\limits_{-R}^{R}\frac {(\varphi(x)-\varphi(0))}x dx=\left(P\frac 1x,\varphi\right)$

Он никаких объяснений к этому действию не дает, хотя, на мой взгляд, это ключевой момент (мы не могли перейти к пределу по эпсилон в самом начале, зато здесь почему-то можем, но где обоснование?). Насколько я могу судить, подыинегральное выражение не непрерывно в точке $(x,\varepsilon)=(0,0)$. Почему же тогда так свободно делается переход?

[thething]

Обосновать предельный переход можно по теореме Лебега об ограниченной сходимости, поскольку дробь $\dfrac{|\varphi(x)-\varphi(0)|}{|x|}$ мажорирует подынтегральную функцию.

[artempalkin]

thething
О, спасибо, не знал о такой теореме. В целом, насколько я могу судить, доказать ее даже и не очень трудно.
А нет ли какой-то матанской теоремы относительно предельного перехода под знаком интеграла, которая здесь подойдет?
Просто очень странно, что неочевидное применение теоремы вообще никак не прокомментировано в учебнике, как будто имеется в виду что-то совершенно простое. Кроме того, неясно, зачем для ее применения домножать на $x-i\varepsilon$. Это играет роль во втором интеграле, но... в общем, наводит на какие-то мысли.

И еще хотел спросить... прав ли я, когда говорю, что функция $f(x,\varepsilon)=\frac{(\varphi(x)-\varphi(0))(x-i\varepsilon)}{x^2-\varepsilon^2}$ в общем случае разрывна в точке $(x,\varepsilon)=(0,0)$? $\varphi(x)$ подразумевается основная, то есть бесконечное количество раз дифференцируемая (и финитная).

[thething]

Теорема Лебега -- не экзотика, а распространённый рабочий инструмент, который имеется на руках к моменту рассмотрения обобщённых функций. К тому же, сам Владимиров в своём учебнике по УМФ приводит, в частности, её формулировку в справочном материале перед основным изложением.

В матанализе есть как раз экзотическая теорема Арцела (см. второй том Фихтенгольца), которая похожа по сути на теорему Лебега и тут должна сработать.

Функция Ваша (записываете Вы её, кстати, по-разному в разных местах, я ориентируюсь на исходный вид -- до домножения на сопряжённое) непрерывна в нуле только если $\varphi'(0)=0$ (получается произведение бесконечно малой на ограниченную). В остальных случаях предела не имеет, соответственно, непрерывности тоже нет.

[artempalkin]

thething
Да, спасибо!

thething в сообщении #1567174 писал(а):

Функция Ваша (записываете Вы её, кстати, по-разному в разных местах, я ориентируюсь на исходный вид -- до домножения на сопряжённое) непрерывна в нуле только если $\varphi'(0)=0$ (получается произведение бесконечно малой на ограниченную).

Да, у меня так же получилось.
Там, конечно, должен быть плюс, а не минус в знаменателе. В целом все ясно, спасибо!