Неэквивалентные унитарные представления

[OlegML]

Здравствуйте.
Имеется некоторая группа перестановок. Она изоморфна группам унитарных матриц, т.е. порождает представления.
Среди представлений имеются неприводимые. Характеры элементов группы в неприводимых представлениях это конкретные числа,
они табулируются. Это означает, что не существует не эквивалентных представлений с другими характерами элементов?
Но мы можем матрицы, соответствующие нечетным перестановкам взять со знаком минус. Это будет группа изоморфная исходной,
т.е. тоже будет унитарным представлением группы перестановок и не будет эквивалентным. Характеры неприводимых представлений
нечетных перестановок изменят знак. Получается, что табулирование характеров нечетных перестановок выполняется с точностью до знака?
Или может характеры нечетных перестановок всегда равны нулю?
Я посмотрел неприводимые представления группы перестановок из 3х элементов. Характеры нечетных перестановок двумерного неприводимого
представления действительно равны нулю, полносимметричное и антисимметричное представления меняются местами.
Может кто то прокомментировать и разъяснить?

[Slav-27]

OlegML в сообщении #1567044 писал(а):

Это означает, что не существует не эквивалентных представлений с другими характерами элементов?

Да.

OlegML в сообщении #1567044 писал(а):

Или может характеры нечетных перестановок всегда равны нулю?

Конечно нет, например, знак перестановки -- это тоже характер.
В основном всё правильно, посмотрите таблицу для перестановок 4 элементов (например, https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S4 после фразы "this is the character table over characteristic zero") и заметьте, что если есть нечётная перестановка с ненулевым характером, то у этого характера действительно есть пара.

[OlegML]

Спасибо за отклик и ссылку. С неприводимыми представлениями понятно.
Но это не означает, что у конечной группы всегда есть два равноправных унитарных представления в некотором базисе различающиеся знаком нечетных элементов?
Может это связано с двузначными представлениями группы вращений?

[Slav-27]

Это означает, что группа 1-мерных представлений действует домножением на множестве всех (неприводимых) представлений, что полезно иметь в виду при составлении таблиц характеров.