2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма делителей 403
Сообщение18.10.2022, 08:31 


18/10/22
2
От нечего делать Вася нашел все трехзначные числа с суммой делителей 403. Сделайте это и Вы.

Ответ получен, но как математически обосновать данный ответ я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма делителей 403
Сообщение18.10.2022, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Ну можно начать с посмотреть, какие паттерны:) дают нечётную сумму делителей :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма делителей 403
Сообщение18.10.2022, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1897
Санкт-Петербург
Да. И на олимпиадную задачу оно никак не тянет, так Васе и передайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма делителей 403
Сообщение18.10.2022, 12:43 


02/04/18
240
Ну... $403=13\cdot31$. А формула суммы делителей через каноническое разложение известна.
Значит, задача сводится к нахождению простых $p_i$ таких, что сумма нескольких первых членов геометрической прогрессии $1+p_i+p_i^2+...$ равна одному из этих трех чисел.
Тут уже перебор, в конце концов. Для меньших двух чисел он проводится даже в уме:
$13=1+3+3^2$
$31=1+2+2^2+2^3+2^4=1+5+5^2$

Для 403 лучше подойти более системно и заметить, что $p=2$ не годится (поскольку 404 - не степень двух), а для остальных случаев максимальная степень должна быть четной, но не превосходить 403. Тройку можно тоже проверить "вручную" и отсеять, а для остальных должно быть верно $1+p+p^2=403$, но это уравнение не имеет натуральных корней.
Поэтому в ответе запишем $3^22^4=144$ и $3^25^2=225$.

На олимпиаду в 21-м веке не тянет, конечно, но для подготовки - почему нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма делителей 403
Сообщение21.10.2022, 06:32 


18/10/22
2
Andrey A в сообщении #1567034 писал(а):
Да. И на олимпиадную задачу оно никак не тянет, так Васе и передайте.

Это уже к организаторам отборочного тура ЮМШ.

-- 21.10.2022, 06:34 --

Dendr в сообщении #1567039 писал(а):
Ну... $403=13\cdot31$. А формула суммы делителей через каноническое разложение известна.
Значит, задача сводится к нахождению простых $p_i$ таких, что сумма нескольких первых членов геометрической прогрессии $1+p_i+p_i^2+...$ равна одному из этих трех чисел.
Тут уже перебор, в конце концов. Для меньших двух чисел он проводится даже в уме:
$13=1+3+3^2$
$31=1+2+2^2+2^3+2^4=1+5+5^2$

Для 403 лучше подойти более системно и заметить, что $p=2$ не годится (поскольку 404 - не степень двух), а для остальных случаев максимальная степень должна быть четной, но не превосходить 403. Тройку можно тоже проверить "вручную" и отсеять, а для остальных должно быть верно $1+p+p^2=403$, но это уравнение не имеет натуральных корней.
Поэтому в ответе запишем $3^22^4=144$ и $3^25^2=225$.

На олимпиаду в 21-м веке не тянет, конечно, но для подготовки - почему нет?


Спасибо за объяснение..совсем вылетело это свойство из головы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма делителей 403
Сообщение21.10.2022, 07:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1897
Санкт-Петербург
km621 в сообщении #1567247 писал(а):
... совсем вылетело это свойство из головы.
И то что $m<\sigma (m).$ При том, что нечетное значение $\sigma (m)$ возможно только, если $m$ — целый квадрат, или удвоенный целый квадрат (но тогда оно кратно тройке). Насчет школьной олимпиады согласен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group