Ну...
![$403=13\cdot31$ $403=13\cdot31$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/f/72f35cbc2edffbdec9f686ea331fb64a82.png)
. А формула суммы делителей через каноническое разложение известна.
Значит, задача сводится к нахождению простых
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
таких, что сумма нескольких первых членов геометрической прогрессии
![$1+p_i+p_i^2+...$ $1+p_i+p_i^2+...$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/7/5d74bb1a5c268de0b3ca2518d321f4f982.png)
равна одному из этих трех чисел.
Тут уже перебор, в конце концов. Для меньших двух чисел он проводится даже в уме:
![$13=1+3+3^2$ $13=1+3+3^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/e/0ee39b97cf9807f9d17796311c1b58ea82.png)
![$31=1+2+2^2+2^3+2^4=1+5+5^2$ $31=1+2+2^2+2^3+2^4=1+5+5^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/8/968d6222650e1c5d4fb57ee7f20ad17382.png)
Для 403 лучше подойти более системно и заметить, что
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
не годится (поскольку 404 - не степень двух), а для остальных случаев максимальная степень должна быть четной, но не превосходить 403. Тройку можно тоже проверить "вручную" и отсеять, а для остальных должно быть верно
![$1+p+p^2=403$ $1+p+p^2=403$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/d/88d936a0091c5fe05e8efff23333090c82.png)
, но это уравнение не имеет натуральных корней.
Поэтому в ответе запишем
![$3^22^4=144$ $3^22^4=144$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/7/b77066761bd4910a3ee18db72aafc0f082.png)
и
![$3^25^2=225$ $3^25^2=225$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/c/a2cdc861415c16279878d6f571a4d92d82.png)
.
На олимпиаду в 21-м веке не тянет, конечно, но для подготовки - почему нет?