Точность одной оценки (интеграла Римана-Стилтьеса)

[AD]

Известна тривиальная оценка

$$\left|\int_a^b f(x)\,dg(x)\right|\le\max_{[a,b]}|f|\mathop{\mathrm{Var}}\limits_{[a,b]}g$,

где $f$ --- непрерывная функция, $g$ --- функция ограниченной вариации, и интеграл понимается в смысле Римана--Стилтьеса.

А) Для всех ли функций $f$ эта оценка неусиляема? То есть нет ли таких $f$, что для любой $g$ правую часть можно домножить на некую константу, меньшую единицы?
Б) А если известно, что $f$ неотрицательна и монотонна?

Добавлено спустя 2 часа 53 минуты 11 секунд:

Знаю, что константа эта не может быть меньше 1/2 --- всегда можно взять $g(x)=\chi_{(a,b)}(x)$.

[ewert]

AD писал(а):

Известна тривиальная оценка

$$\left|\int_a^b f(x)\,dg(x)\right|\le\max_{[a,b]}|f|\mathop{\mathrm{Var}}\limits_{[a,b]}g$,

где $f$ --- непрерывная функция, $g$ --- функция ограниченной вариации, и интеграл понимается в смысле Римана--Стилтьеса.

А) Для всех ли функций $f$ эта оценка неусиляема?

ну я вообще-то где-то краем уха слыхал, будто пространством, сопряжённым к $C[a;b]$, является ровно множество функций ограниченной вариации (в смысле построения с их помощью интегралов Стильтьеса). Стал быть -- неулучшаема.

[AD]

Че-то не соображу. Это у нас неусиляемость по $f$ при фиксированной $g$. А мне нужно наоборот. Или это одно и то же?

[ewert]

формально -- нет (ибо пр-ва нерефлексивны). Но по существу, как мне кажется, да. Вот и нету энтузиазма.

[Bard]

"Неусиляемость" оценки следует из того, что она точна для функций g(x), имеющих кусочно -непрерывную плотность (даже гладкую).

[AD]

Bard писал(а):

... для функций g(x), имеющих кусочно -непрерывную плотность (даже гладкую).

Чего-чего? Мая твая ни панимай.

[Bard]

Попробую объясниться. Возможно, неправильно понял условие. Пусть фиксированная функция

\[ f(x) \]

достигает максимума в точке

\[ x_0 \]

. Возьмём ступеньку в

\[ \varepsilon \]

- окрестности этой точки высоты

\[ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {2\varepsilon } \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {2\varepsilon } \right)}} \]

(площадь под этой ступенькой равна 1). Далее, интеграл с переменным верхним пределом от этой ступеньки - это и есть функция g(x). Устремляя

\[ \varepsilon \]

к нулю, убеждаемся в точности оценки.

[AD]

А! Все! Дошло!

$$\int_a^bf(x)\,d\chi_{[c,b]}(x)=f(c)$$

слишком просто.

[AD]

Так. Вторая серия.

А что если я заявлю, что функция $g$ обязана быть $(b-a)$-периодической?

В этом случае нашего Хевисайдика придется поправить в точке $b$ и/или $a$, и вариация станет равна двойке, что не катит.

[ewert]

любая функция бэ-минус-а-периодична, если её продолжить по периодичности

[AD]

ewert. Я требую, чтобы было $g(b)=g(a)$. А для приведенной выше функции это неверно, ибо, при разумных $c$, получается $g(b)=1$ и $g(a)=0$. А изменение в одной точке существенно скажется на вариации. Да и на интеграле тоже, если эта точка является концом отрезка.

[ewert]

эт, как я понял, Вы намекаете, что та самая жэ непрерывна. Ну и пусть себе. Примем для простоты, что она сперва возрастает, а потом (к концу периода) исключительно убывает. И зададим эф сперва как (-1) на промежутке убывания и как 1 на промежутке возрастания. А потом чуток эту эф сгладим. Вот и выйдет точная оценка.

[Bard]

AD.
Дополнительное условие g(a)=g(b) Означает,что для всех C справедливо равенство

\[ \int\limits_a^b {f(x)dg(x)} = \int\limits_a^b {\left( {f(x) - C} \right)dg(x)} \]

.
Следовательно, справедливо неравенство

\[ \left| {\int\limits_a^b {f(x)dg(x)} } \right| \le \max \left| {f(x) - C} \right|\,{\mathop{\rm Var}\nolimits} \,g(x) \]

.
Поэтому наилучшая константа

\[ \mathop {\min }\limits_C \,\max \left| {f(x) - C} \right| \]

.
Последняя равна

\[ \frac{1}{2}\left( {\max f(x) - \min f(x)} \right) \]