Проекция эллипса

[Женисбек]

Пусть $f(x,y)=x^2+xy+y^2$. Почему так получается, что проекция эллипса
$f(x,y)=1$
на ось $Ox$ есть решение системы

$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,\\ f(x,y)\le 1 \end{cases}$$

относительно $x$
?

Будет ли это верно для произвольной строго выпуклой функции $f(x,y)\in C^{(1)}$?

[Brukvalub]

А Вы попробуйте отбросить в Вашей функции ху.

[Женисбек]

Brukvalub писал(а):

А Вы попробуйте отбросить в Вашей функции ху.

Получил отрезок $[-1,1]$ - это же и есть проекция единичной окружности?

[Brukvalub]

Согласен, поспешил, мой пример не опровергает Вашей гипотезы.

[Bard]

В точках, где выполнено условие

\[ \frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} = 0 \]

,
не выполнены условия существования дифференцируемой неявной функции (там касательная к графику неявной функции параллельна оси ординат).
Далее, поток сознания. Для общего случая боюсь утверждать справедливость гипотезы, т.к. линии уровней выпуклой функции возможно будут не гладкими (почти всюду касательные будут), поэтому проекция в точности может и не совпасть с множеством решений системы ( но если взять замыкание, то гипотеза, возможно будет верной).

[AD]

Bard писал(а):

почти всюду касательные будут

У выпуклой функции производная есть всюду, кроме не более чем счетного множества точек. А для замкнутой кривой, наверное, это тоже верно?

[Someone]

AD писал(а):

А для замкнутой кривой, наверное, это тоже верно?

Нет. Существуют замкнутые кривые (гомеоморфные окружности), которые ни в одной точке не имеют касательной.