2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел функции по Коши.
Сообщение14.10.2022, 22:48 


24/01/22
61
В учебнике Кудрявцева встретил такое определение предела по Коши. Почему здесь не требуется того, что $x\neq x_{0}$
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции по Коши.
Сообщение15.10.2022, 00:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Как объясняет сам автор,
Цитата:
Из существенных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при $x\to x_0$ не требуется выполнения условия $x\neq x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, само определение предела делается короче (на одно условие меньше), а тем самым упрощаются и доказательства, в которых участвуют пределы функций; не нужно рассматривать отдельно от теории пределов функций непрерывные функции; делается наглядным и убедительным утверждение, что в математике дискретность является частным случаем непрерывности; упрощаются формулировка и доказательство важной теоремы о пределе композиции функций и т.д.
(Кудрявцев, Курс математического анализа, т.1, 2003, стр. 4-5)
Цитата:
Существенное отличие предлагаемого учебника от большинства других состоит в изложении теории предела функции. В основе этого изложения лежит рассмотрение предела функции в точке не только по её проколотой окрестности, а по любому множеству, содержащемуся в области задания функции. Это позволяет изучать свойства функций глубже, чем при рассмотрении предела только по проколотой окрестности. В учебнике определение предела $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a$ числовой функции $f$, заданной на множестве $X$, формулируется, например, в терминах последовательностей следующим образом: для любой последовательности $x_n\to x_0, x_n\in X$, имеет место $f(x_n)\to a, n=1,2,...$ При этом допускаются оба случая, $x_0\in X$ и $x_0\notin X$, а тем самым при таком определении предела функции не предполагается, что $x_n\neq x_0$. Это упрощает формулировки и доказательства теорем (по сравнению с обычным определением здесь одним условием меньше), что особенно хорошо видно на примере теоремы о пределе сложной функции и позволяет наглядно и убедительно показать, что в математике дискретное является частным случаем непрерывного. Подробный сравнительный анализ с точки зрения различных определений предела функции содержится в статье L.D. Kudryavtsev "Introducing limits at the undergraduate level" (Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 1992, V. 23, №4, 517-523).
(Кудрявцев, Краткий курс математического анализа, т.1, 2009, стр. 9)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции по Коши.
Сообщение02.03.2023, 11:01 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Только зря он называет это методическим новшеством: Л. Шварц Анадиз том 1

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group