Инвариантность подпространства и внешние произведения

[Kuga]

Задача: Доказать, что $k$-мерное подпространствo $W\subseteq V$ инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\Lambda^kW$ инвариантно относительно $\Lambda^k(\mathcal{A})$.

В одну стороно очевидно как доказать: если $W\subseteq V$ инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, то $\Lambda^kW$ инвариантно относительно $\Lambda^k(\mathcal{A})$.

Непонятно, почему верно обратное. Может я неправильно понял задачу? Рассмотрим такой контрпример:

Пусть $e_1,e_2,e_3$ - базис $V$, $k=2$, $W=\langle e_1,e_2\rangle$ и

$$ \mathcal{A}(W)=\langle e_3\rangle. $$

Тогда $\Lambda^2(\mathcal{A})(\Lambda^2W)=0$, поэтому $\Lambda^2W$ инвариантно относительно $\Lambda^2(\mathcal{A})$, но $W\subseteq V$ не инвариантно относительно $\mathcal{A}$.

Где тут ошибка?

[demolishka]

Во внешней степени $\bigwedge^{k} V$ живут ориентированные $k$-мерные объемы из $V$. Действительно, если оператор $A$ на $W$ имеет ранг меньший $k$ (т.е. все $k$-мерные объемы на $W$ под действием $A$ вырождаются), то $\bigwedge^{k} W$ лежит в ядре $\bigwedge^{k} A$ и, таким образом, очевидно инвариантно относительно $\bigwedge^{k} A$, в то время как $W$ не обязано быть инвариантным относительно $A$. Но утверждение задачи легко подправить, потребовав невырожденности — вот с ней докажите, что утверждение справедливо.

Замечание по обозначениям. Внешнее произведение обозначается значками $\bigwedge$ и $\wedge$, что отличается от значка (лямбды) $\Lambda$, используемого Вами. Вообще вместо $\bigwedge^{k} A$ и $\bigwedge^{k} V$ удобней и красивей в латехе писать $A^{\wedge k}$ и $V^{\wedge k}$ (и аналогично с тензорными произведениями).

[Kuga]

Если $\mathcal{A}$ невырожден, то тогда легко доказать. Спасибо за разъяснения.
Тему можно закрыть.