Интегрирование по частям в тензорных обозначениях

[George M]

Здравствуйте, предположим, что у меня есть векторные поля $a$, $b$ и скалярное поле $f$, которые на границе интегрирования обращаются в ноль. Я хочу перейти к дифференцированию компонент $a$ под новым интегралом .

Правильно я понимаю, что интегрирование по частям для нижеприведенных зависимостей будет таким в тензорных обозначениях?

$$ \displaystyle \int d^{3}r (\vec{a}\cdot div(\vec{b})) = - \int d^{3}r (b_{k} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$

$$ \displaystyle \int d^{3}r (\vec{a}\cdot grad(f)) = - \int d^{3}r (f \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$

А как проинтегрируется?

$$ \displaystyle \int d^{3}r (\vec{a}\cdot rot(\vec{b})) $$

Мне помнится, что

$$rot(\vec{b}) = \varepsilon_{ikl} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{k}}$$

[svv]

George M в сообщении #1566673 писал(а):

которые на границе интегрирования обращаются в ноль

Да, это важно, иначе всюду добавится ещё поверхностный интеграл по границе области.

Я для краткости буду писать $\partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}$ и $dV=d^3r$.

George M в сообщении #1566673 писал(а):

$$ \displaystyle \int d^{3}r (\vec{a}\cdot div(\vec{b})) = - \int d^{3}r (b_{k} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$

Нет. Дивергенция векторного поля даёт скалярное поле. Поскольку скалярное произведение определено для двух векторов, оно в левой части не имеет смысла. Там вектор $\vec{a}$ должен умножаться на скаляр $\operatorname{div}\vec{b}$ (что не обозначается точкой).
О той же ошибке сигнализируют и три одинаковых индекса $k$ в тензорной записи.
Правильно так:
$\int a_i\,\partial_k b_k\;dV = - \int b_{k}\,\partial_k a_i \;dV$
$\int \vec{a}\,\operatorname{div}\vec{b}\;dV =- \int (\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}\;dV$
По поводу странной конструкции $(\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}$ (производная $\vec{a}$ по направлению $\vec{b}$) см. справочник Корна по математике, пункт 5.5.2 «Оператор $\nabla$», стр. 171-172.

George M в сообщении #1566673 писал(а):

$$ \displaystyle \int d^{3}r (\vec{a}\cdot grad(f)) = - \int d^{3}r (f \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{k}})$$

Да. И тут скалярное произведение уже на месте.
$\int a_k\,\partial_k f\;dV = - \int f \,\partial_k a_k\;dV$
$\int \vec{a}\cdot \operatorname{grad} f\;dV = - \int f \,\operatorname{div}\vec{a}\;dV$

George M в сообщении #1566673 писал(а):

$$rot(\vec{b}) = \varepsilon_{ikl} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{k}}$$

В правой части индексы $k,l$ немые, а $i$ свободный. Тогда и в левой части должен быть свободный $i$, но его там нет. Кроме того, слева вектор, а справа набор компонент. Это можно исправить двумя способами ($\vec{e}_i$ — базисный вектор декартова базиса):
$\operatorname{rot}\vec{b} = \vec{e}_i\,\varepsilon_{ikl}\,\partial_k b_l$
$(\operatorname{rot}\vec{b})_i = \varepsilon_{ikl}\,\partial_k b_l$
На последующее это не влияет.

$\int a_i\,\varepsilon_{ikl}\,\partial_k b_l\;dV = -\int b_l\,\varepsilon_{ikl}\,\partial_k a_i \;dV =+\int b_l\,\varepsilon_{lki}\,\partial_k a_i \;dV$
$\int \vec{a}\cdot \operatorname{rot}\vec{b}\;dV = \int \vec{b}\cdot \operatorname{rot}\vec{a} \;dV$

[George M]

Большое спасибо за такое качественное и понятное объяснение, я всё вспомнил и во всем разобрался