Комплексные числа, аргумент

[lLMrmhwVPHgNf]

Не могу понять постановку задач:

Цитата:

Докажите: если $z_1$ или $z_2$ - два комплексных числа, то аргумент $z_1 - z_2$ равен углу между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим от $z_2$ к $z_1$

Нужно привести разницу $z_1 - z_2$ к комплексному числу? т.е. подставить $\rho(\cos\varphi + i\sin\varphi)$:

Цитата:

$\rho(\cos\varphi + i\sin\varphi) - \rho(\cos\varphi^` + i\sin\varphi^`)$
$\rho(\cos\varphi - \cos\varphi^` ) + \rho(i\sin\varphi - i\sin\varphi^` )$
$\rho((\cos\varphi - \cos\varphi^` ) + i(\sin\varphi - \sin\varphi^` ))$

Заменяем \cos\varphi - \cos\varphi^`$ на $x$, $\sin\varphi - \sin\varphi^`$ на $y$. Про вектор тоже не понял, геометрически представляю как это выглядит, просто разница двух векторов, тогда да, от $z_2$ к $z_1$. Правильно?

И:

Цитата:

Дан треугольник с вершинами $z_1, z_2, z_3$ установите геометрический смысл аргумента числа

$$\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3}$$

Тут пробовал подставлять как в первой задаче, но что-то вывести не получается или тут нужно геометрически представить?

[svv]

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566551 писал(а):

Докажите: если $z_1$ или $z_2$ - два комплексных числа, то аргумент $z_1 - z_2$ равен углу между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим от $z_2$ к $z_1$

Этот угол не изменится, если вектор передвинуть так, чтобы его начало оказалось в точке $z=0$. Конец вектора при этом попадёт в точку $z_1-z_2$.

[Schrodinger's cat]

Представьте, что комплексные числа это 2D векторы в которых $x=\operatorname{Re}$ а $y=\operatorname{Im}$ тогда и понимать может быть будет проще. Задача чисто векторная (геометрическая).
Нужно разобраться что такое модуль и аргумент комплексного числа а так же неплохо разобраться как находить длину вектора и угол между векторами.

[lLMrmhwVPHgNf]

Аргумент это $\varphi$, тут важен угол, поэтому можно взять модуль он же $\rho$ за 1. Тогда получается аргумент $z_1-z_2$ равен:

Цитата:

$\cos\varphi^{``}=\cos\varphi - \cos\varphi^`$
$\sin\varphi^{``}=\sin\varphi - \sin\varphi^`$

Угол между осью Х и $z_1-z_2$ равен:

Цитата:

$\cos\varphi^{``}=\frac{x}{\left\lvert z_1-z_2\right\rvert}$
$\sin\varphi^{``}=\frac{y}{\left\lvert z_1-z_2\right\rvert}$

$\left\lvert z_1-z_2\right\rvert=1$, а $x=\cos\varphi - \cos\varphi^`$ и $y=\sin\varphi - \sin\varphi^`$, получается угол между вектором и осью X равен:

Цитата:

$\cos\varphi^{``}=\cos\varphi - \cos\varphi^`$
$\sin\varphi^{``}=\sin\varphi - \sin\varphi^`$

Это нужно было показать?

[Schrodinger's cat]

Имеем 2D декартову систему координат.
Имеем 2 точки $z_1$ и $z_2$ с координатами $(\operatorname{Re_1}, \operatorname{Im_1})$ и $(\operatorname{Re_2}, \operatorname{Im_2})$ соответственно.
Никаких формул Эйлера тут не нужно. Нужно сделать вычитание одного вектора из второго. И перенести результат в начало координат (0, 0).
Чисто векторные преобразования.

Понимаете что такое вектор?

[lLMrmhwVPHgNf]

Schrodinger's cat в сообщении #1566638 писал(а):

Понимаете что такое вектор?

Да, если комплексное число $x + yi$, то получается радиус вектор с началом $(0,0)$ и концом $(x,y)$. Разница $z_1$ и $z_2$ равна $(x_1-x_2, y_1-y_2)$, если мы переносим результат в начало координат, то получается радиус вектор с началом $(0,0)$ и концом $(x_1-x_2, y_1-y_2)$?

[Schrodinger's cat]

Все верно, что и пояснял уважаемый svv.

[lLMrmhwVPHgNf]

Но так и не понял насчет геометрического смысла аргумента числа

$$\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3}$$

из треугольника с вершинами $z_1, z_2, z_3$ . Результатом будет комплексное число и аргументом будет угол между вектором и осью Ox, но тогда причем здесь треугольник? Или тут смысл, что угол уменьшится и модуль? Получается два радиус вектора $(0,0)(zx_1 - zx_2,zy_1 - zy_2)$ и $(0,0)(zx_1 - zx_2,zy_3 - zy_3)$, но чему равно их отношение

[mihaild]

Тут может помочь следующее представление: $\frac{a}{b} = \frac{a \overline{b}}{b\overline{b}} = \frac{a \overline b}{|b|^2}$. Как влияет на аргумент числа сопряжение? А умножение на положительное вещественное число?

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566728 писал(а):

но чему равно их отношение

Ничему. Нужно сначала поделить, а потом уже к векторам переходить.

[Schrodinger's cat]

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566728 писал(а):

Но так и не понял насчет геометрического смысла аргумента числа

Я тоже. Деление векторов в общем случае не определено.
Но если исходить из того, что $z_1 - z_2$ одно ребро, а $z_1 - z_3$ второе ребро треугольника, т.е. модули равны длинам ребер а аргументы наклону то исходя из определения "при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы – вычитаются" можно интерпретировать как во сколько раз первое ребро больше второго и на сколько градусов их наклон отличается.

У меня есть еще подозрения, они маловероятны, но я их озвучу:
1) Возможно имелось в виду $\frac{\left \| z_1 - z_2 \right \|}{\left \| z_1 - z_3 \right \|}$
Тогда это есть проекция ребра 12 на 13 или $\cos$ угла при вершине 1.
2) Возможно имелся в виду сам угол при вершине 1, но запись для этого странная.

[Slav-27]

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566551 писал(а):

Дан треугольник с вершинами $z_1, z_2, z_3$ установите геометрический смысл аргумента числа

$$\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3}$$

Это угол треугольника при $z_1$ (ориентированный). О чём спор?

[lLMrmhwVPHgNf]

Slav-27 в сообщении #1566770 писал(а):

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566551 писал(а):

Дан треугольник с вершинами $z_1, z_2, z_3$ установите геометрический смысл аргумента числа

$$\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3}$$

Это угол треугольника при $z_1$ (ориентированный). О чём спор?

А как это выводится из

$$\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3}$$

?

mihaild в сообщении #1566733 писал(а):

Как влияет на аргумент числа сопряжение?

Аргумент будет со знаком -

mihaild в сообщении #1566733 писал(а):

А умножение на положительное вещественное число?

Размер он же модуль будет увеличиваться, но аргумент влиять не будет

mihaild в сообщении #1566733 писал(а):

Тут может помочь следующее представление: $\frac{a}{b} = \frac{a \overline{b}}{b\overline{b}} = \frac{a \overline b}{|b|^2}$.

Тут намек на формулу угла между вектором и Ox?

Цитата:

$\frac{a \overline b}{|b|^2} = \frac{a}{|b|}\frac{\overline b}{|b|}$
$\cos\varphi=\frac{x}{\left\lvert r\right\rvert} $

Если же попытка как-то преобразовать, то после умножения на сопряженное число и замены дальше у меня ничего не ушло:

Цитата:

$\frac{((x_1-x_2) + i(y_1-y_2))((x_1-x_3) - i(y_1-y_3))}{(x_1-x_3)^2 + (y_1-y_3)^2}$

[tolstopuz]

Schrodinger's cat в сообщении #1566769 писал(а):

и на сколько градусов их наклон отличается

Это же практически ответ.

[Slav-27]

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566857 писал(а):

А как это выводится

Числитель и знаменатель -- это стороны треугольника, аргумент отношения комплексных чисел -- это угол между ними.

[lLMrmhwVPHgNf]

Slav-27 в сообщении #1566871 писал(а):

lLMrmhwVPHgNf в сообщении #1566857 писал(а):

А как это выводится

Числитель и знаменатель -- это стороны треугольника, аргумент отношения комплексных чисел -- это угол между ними.

Понял наконец-то, что деление комплексных чисел это разница аргументов и отношения модулей видел, т.е. уменьшается угол и модуль, но почему это угол $z_1 $ не мог понять, пока все не изобразил на бумаге и просто не посчитал углы. Ведь угол $z_1 = 90 - \varphi (z_1-z_2) - (90 - \varphi (z_1 - z_3))$, 90 сокращаем и получается угол $z_1$. Т.е. это ориентированный угол, показывающий на сколько нужно повернуть $z_1-z_2$ до $z_1-z_3$ )).