Произведение тензоров

[Mikhail Andropov]

Здравствуйте! Я столкнулся с следующей задачей, мне даны тензоры:

$$A^{i} = \begin{pmatrix} 1\\ 7\\ 5\\ 0 \end{pmatrix}$$

$$ T^{kl}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Мне необходимо найти: $A^{k}T_{lk}$

Моя попытка это решить:

Транспонируем тензор $T^{kl}$:

$$ T^{lk} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -3\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Опустим у него два индекса:

$$ T_{lk} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -3\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ -2 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Распишем сумму следующим образом:

$$ A^{1}T_{l1}+A^{2}T_{l2}+A^{3}T_{l3}+A^{4}T_{l4} $$

Для $l=1$ получим:

$$ A^{1}T_{11}+A^{2}T_{12}+A^{3}T_{13}+A^{4}T_{14} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 $$

Для $l=2$

$$ A^{1}T_{21}+A^{2}T_{22}+A^{3}T_{23}+A^{4}T_{24} = 0 + 7 + 0 + 0 = 7 $$

Для $l=3$

$$ A^{1}T_{31}+A^{2}T_{32}+A^{3}T_{33}+A^{4}T_{34} = 0 + 0 -5 + 0 = -5 $$

Для $l=4$

$$ A^{1}T_{41}+A^{2}T_{42}+A^{3}T_{43}+A^{4}T_{44} = 0 + 0 -5 + 0 = -2 + 7 + 0 + 0 =5 $$

Но мне сказали, что это неверно. Не могли бы вы мне помочь найти ошибку в моих рассуждениях?

[пианист]

Метрика имеется в виду типа $(- - - +)$?
А транспонировать зачем?

[Mikhail Andropov]

Метрика в пространстве Минковского да, транспонировал, поскольку в условии дан тензор $T^{kl}$, а суммирование производится с тензором $T_{lk}$ (возможно я ошибся где-то здесь)

[svv]

Mikhail Andropov в сообщении #1566347 писал(а):

в условии дан тензор $T^{kl}$, а суммирование производится с тензором $T_{lk}$

Допустим, компоненты тензора второго ранга определены формулой
$T^{k\ell}=\text{матрица}$.
Это не значит, что отсюда и далее за буквой $k$ закреплён смысл первого индекса, а за $\ell$ — второго. Различие между $T^{k\ell}$ и $T^{\ell k}$ появляется лишь в контексте. Если использовать аналогию из программирования, то область видимости любого индексного символа — данная формула, и не больше. Таким образом, $T^{k\ell},$ $T^{pk}$ и $T^{\ell k}$ — это всё контравариантные компоненты одного тензора $\mathsf T$.

Mikhail Andropov в сообщении #1566347 писал(а):

Метрика в пространстве Минковского

Вы можете уточнить? Просто если индексы пробегают значения от $1$ до $4$, временной координате обычно соответствует индекс $4$. Но то, у каких компонент Вы меняли знаки при опускании индексов, указывает на нумерацию $0,1,2,3$, где времени соответствует $0$.

[Mikhail Andropov]

Спасибо большое, я понял, что транспонировал зря, поскольку если этого не делать, то ответ будет верным (метрика предполагалась 0,1,2,3, временной индекс - 0)

[мат-ламер]

А может просто для $l=4$ перед двойкой знак попутан? (Задача вроде не по физике).