Процесс Пуассона

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть $\xi_t$ - процесс Пуассона, $\tau_1, \tau_2, ..., \tau_n$ - моменты поступления заявок, соответственно первой, второй и т.д. Считаем, что траектории процесса Пуассона непрерывны слева.
Я пытаюсь найти совместное распределение $\tau_1, \tau_2, ..., \tau_n$. Пусть $n=2$.

$$P(\tau_1<x_1, \tau_2<x_2)=P(\xi_{x_1}\geqslant 1, \xi_{x_2}\geqslant 2)=P(\xi_{x_1}\geqslant 1, \xi_{x_2}-\xi_{x_1}\geqslant 1)= P(\xi_{x_1}\geqslant 1)P(\xi_{x_2}-\xi_{x_1}\geqslant 1)=$$

$$=(1-e^{-\lambda x_1})(1-e^{-\lambda(x_2- x_1)}).$$

Если теперь взять смешанную производную, чтобы найти плотность, то получим

$$\lambda^2e^{-\lambda(x_2- x_1)}.$$

Во всех источниках, которые я видел, указывается, что плотность должна быть $\lambda^2e^{-\lambda x_2}$.
Не могу найти, где у меня ошибка.

[ShMaxG]

meshok в сообщении #1566300 писал(а):

Не могу найти, где у меня ошибка.

Ошибка во втором равенстве. Например, $\xi_{x_1}=2$, $\xi_{x_2}=2$ лежит в событии вероятности слева, но не лежит в событии вероятности справа.

[meshok]

Да, спасибо, ошибка именно там. Но все равно не сходится с ответом.

$$P(\xi_{x_1}\geqslant 1,\xi_{x_2}\geqslant 2)=P((\xi_{x_1},\xi_{x_1}-\xi_{x_2})\in A)=\int\limits_A p_{(\xi_{x_1},\xi_{x_2}-\xi_{x_1})}(x,y)dxdy=$$

$$=\lambda x_1 \lambda(x_2-x_1)\int\limits_1^\infty\int\limits_{2-x}^\infty e^{-(\lambda x_1)x}e^{-\lambda(x_2-x_1)y}dydx=\lambda x_1 \int\limits_1^\infty e^{-(\lambda x_1)x}e^{-\lambda(x_2-x_1)(2-x)}dx=$$

$$=\lambda x_1 e^{-2\lambda(x_2-x_1)} \int\limits_1^\infty e^ {-(\lambda x_1)x+\lambda (x_2-x_1)x} dx=\frac{x_1e^{-\lambda x_2}}{x_2-2x_1}.$$

Область $A$ это область $\{(x,y):x\geqslant 1,y\geqslant 2-x\}$, $p_{(\xi_{x_1},\xi_{x_2}-\xi_{x_1})}$ - плотность величин $\xi_{x_1}$ и $\xi_{x_2}-\xi_{x_1}$, которая равна произведению плотностей.

[ShMaxG]

Случайные элементы $\xi_t$ и $(\xi_t,\xi_s)$ имеют дискретные распределения, а у вас плотности какие-то в формулах.

[meshok]

Да, вот уж воистину все смешалось в доме Облонских

$$P((\xi_{x_1},\xi_{x_2}-\xi_{x_1})\in A)=P(\xi_{x_1}=1)\sum\limits_{i=1}^\infty P(\xi_{x_2}-\xi_{x_1}=i)+\sum\limits_{i=2}^\infty P(\xi_{x_1}=i)=e^{-\lambda x_1}\lambda x_1(1-e^{-\lambda (x_2-x_1)})+ $$

$$+1-e^{-\lambda x_1}-e^{-\lambda x_1}\lambda x_1=1-e^{-\lambda x_1}-e^{-\lambda x_2}\lambda x_1.$$

Теперь плотность действительно будет такой, какая нужна.
Если случаи $n=2,3$ еще можно как-то посчитать, то в большей размерности это будет уже сложно. Нет ли какой-нибудь книжки, где будут разобраны на пальцах, но в то же время строго свойства процесса Пуассона?

[ShMaxG]

meshok
Исходная задача про поиск совместного распределения этих времен вообще очень простая и решается сразу для произвольного $n$, читать книжки какие-то специально не нужно. Вектор $(\tau_1,\dots,\tau_n)$ связан с вектором $(\tau_1,\tau_2-\tau_1,\dots,\tau_n-\tau_{n-1})$ простым линейным преобразованием и про второй вектор вы все знаете. Плотности этих векторов связаны простым преобразованием, см. книжки по теории вероятностей в разделах про случайные векторы.