2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с экспонентой
Сообщение02.10.2022, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Забавлялся со всякими вычислениями и вышел на неравенство
$$
e^{x-\frac{x^n}{n!}}<\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}.
$$
для положительных $x$. Доказывается оно не ахти как сложно, но мне интересно, где оно может всплывать. Никто не поделится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспонента как предел произведения
Сообщение02.10.2022, 21:59 


18/09/21
1676
Где тут произведение?
Есть сумма - ряд Тэйлора для экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с экспонентой
Сообщение02.10.2022, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
zykov в сообщении #1566007 писал(а):
Где тут произведение?

сообщение много раз редактировалось, формула возникла из некоторого произведения:))

Название изменил. Вопрос актуален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с экспонентой
Сообщение04.10.2022, 04:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Насчет доказательства. Может быть и есть красивое, но мне ничего не пришло на ум кроме как показать, что все коэффициенты ряда Маклорена для функции
$$
e^{\frac{x^n}{n!}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}-e^x
$$
неотрицательны, то есть
$$
\frac{1}{q!k!(n!)^q}\ge\frac{1}{(nq+k)!}
$$
для любого деления на $n$ с остатком $nq+k$.
Для этого мне пришлось показать, что
$$
(ab)!\ge a!(b!)^ab\left(\frac{a^{b-1}}{b}\right)^{a}\ge a!(b!)^a\qquad\qquad\qquad(*)
$$
и поэтому
$$
(ab+k)!=(ab+k)\cdots(ab+1)(ab)!\ge k!a!(b!)^a.
$$
Сначала я думал, что легко найду какую-нибудь простую формулу для факториала произведения, но нашел только
$$
\Gamma(ab-1)=b\left(\frac{a^b}{\sqrt{2\pi}}\right)^a\sqrt{2\pi a}\prod_{k=0}^{a-1}\Gamma\left(b+\frac{k}{a}\right),\qquad\qquad\qquad(**)
$$
верную и для комплексных $b$. Отсюда моментально получаем
$$
(ab)!\ge b\left(\frac{a^{b-1}}{b}\right)^a\left(\frac{a}{\sqrt{2\pi}}\right)^a\sqrt{2\pi a}(b!)^a,
$$
и $(*)$, если заметить, что $\sqrt{2\pi}<e$.
Так что тут еще один вопрос, есть ли какие-нибудь (достаточно известные) формулы для факториала произведения кроме $(**)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с экспонентой
Сообщение04.10.2022, 10:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
$(**)$ называется формулой умножения Гаусса

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с экспонентой
Сообщение04.10.2022, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Неравенство $(ab)!\geqslant a!(b!)^a$ тривиально следует из свойств биномиальных коэффициентов:
$$\frac{(ab)!}{(b!)^a}=\prod_{k=2}^{a}\binom{kb}{b}\geqslant\prod_{k=2}^{a}kb=a!b^{a-1}.$$
Несложно проверить, что $\binom{kb}{b}\geqslant k^b$, откуда следует симметричное неравенство $(ab)!\geqslant (a!)^b(b!)^a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с экспонентой
Сообщение29.11.2022, 19:21 


29/11/22
2
Та красивое неравенство, как по мне.
А нельзя его как-то проще доказать?
По индукции, для n=1 это тождество, переход ($\forall u\in R: 1+u \le e^u$):
$$e^{x-\frac{x}{(n+1)!}} =  1+\int_0^x(1-\frac{t^n}{n!})e^{t-\frac{t}{(n+1)!}}dt < 1 + \int_0^xe^{-\frac{t^n}{n!}}e^tdt < 1+ \int_0^x\sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!} = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}$$
Где такое можно применить пока не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с экспонентой
Сообщение29.11.2022, 23:57 


20/04/10
1776
Sln в сообщении #1571913 писал(а):
А нельзя его как-то проще доказать?
Можно. Просто исследовать функции в обеих частях неравенства. Сначала найти производные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group