Движение частицы в электромагнитном поле.

[Mikhail Andropov]

Здравствуйте! Я решаю задачу о движении в электромагнитном поле, где $E \neq 0$ и $H \neq 0$. Моя задача в том, чтобы доказать что равномерное прямолинейное движение возможно только при условии ортогональности полей (и $H>E$) и предъявить всевозможные $v(t)$

Моя попытка заключается в следующем: направим ось $z$ по вектору $H$, а вектор $E$ пусть лежит в плоскости $yz$

Выписываем уравнения движения с учётом равномерности движения:

$$ \frac{e}{c} \dot{y} H = 0 $$

$$ eE_{y} - \frac{e}{c} \dot{x}H = 0 $$

$$ eE_{z}=0 $$

Поскольку $E_{z} = 0$, то заключаем, что $E$ и $H$ ортогональны.

$$\dot {x}=c \frac{E}{H}$$

Поскольку скорость должна быть меньше $c$, то заключаем, что $H>E$.

Собственно, вот что у меня получилось. Но моё внутреннее ощущение говорит, что мои рассуждения очень поверхностны. Я ошибаюсь или рассматриваю исключительно частный случай. Можете ли вы мне подсказать, что я не учитываю и в каком направлении мне двигаться?

[GAA]

С точностью до констант пропорциональности.
Нужно, чтобы сила, действующая на движущийся заряд, равнялась нулю
$\bar E + [\bar v H] =0$.
Откуда $\bar E = - [\bar v \bar H]$. Умножая скалярно это равенство на $\bar H$, получим в правой части (смешанное произведение с двумя одинаковыми векторами) ноль. Следовательно, скалярное произведение $\bar E \bar H $равно нулю, поэтому $\bar H$ и $\bar E$ ортогональны.
Далее, как Вы и делали, направим $\bar H$ вдоль оси Z, $\bar E$ вдоль оси Y. Откуда получим, что $\bar v = (E/H, 0, \operatorname{const})$.
Т.е. различные скорости будут отличаться значением z-компоненты.

Т.е. Вы не дописали в уравнениях слагаемые содержащие $0\dot z$.

[Gickle]

Из условия равенства нулю силы Лоренца имеем $\mathbf{E} = -\mathbf{v} \times \mathbf{B}$. Попробуйте теперь умножить $\mathbf{E}$ векторно на $\mathbf{B}$ и сделайте выводы.

[svv]

Gickle в сообщении #1565959 писал(а):

Попробуйте теперь умножить $\mathbf{E}$ векторно на $\mathbf{B}$ и сделайте выводы.

Имелось в виду, конечно, умножить $\mathbf{E}$ скалярно на $\mathbf{B}$.

Mikhail Andropov в сообщении #1565950 писал(а):

только при условии ортогональности полей (и $H>E$)

Ну, и при нулевом заряде (и произвольных полях).

[Gickle]

svv в сообщении #1565962 писал(а):

Gickle в сообщении #1565959 писал(а):

Попробуйте теперь умножить $\mathbf{E}$ векторно на $\mathbf{B}$ и сделайте выводы.

Имелось в виду, конечно, умножить $\mathbf{E}$ скалярно на $\mathbf{B}$.

Да, разумеется. Прошу прощения за опечатку.

[DimaM]

Можно еще так пойти.
Равномерное прямолинейное движение означает то, что в некоторой ИСО частица покоится. Очевидно, что в этой системе электрическое поле должно быть нулевым.
Вспоминая формулы преобразования электрического поля

$$E'_{\parallel}=E_{\parallel},\quad {\bf E}'_{\perp}=\gamma({\bf E}_{\perp}-{\bf v}\times{\bf B}_{\perp})$$

(параллельные и перпендикулярные компоненты относительно направления вектора скорости), получаем, что должно быть ${\bf v}\perp{\bf E}$, а также ${\bf v}\times{\bf B}_{\perp}={\bf E}$.
Дальнейшие действия уже описаны выше.