Стандартное отклонение косвенного измерения

[GAA]

Для вычисления абсолютной погрешности величины, заданной формулой $y = f(x_1,\ldots, x_n)$,
по результатам прямых измерений $x_i$ используется (см., например, [1] или [2]) формула

$$\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^n \left (\frac {\partial f} {\partial x_i} \sigma_{x_i}\right)^2,$$

где $\sigma_{x_i}$ — стандартные отклонения значений $x_i$. Часть материала разделов «обработка результатов измерений» начальных практикумов отчасти поддаётся формализации, но вот для указанной формулы обоснования мне не по силам. Нельзя ли привести ссылку на книгу (статью) с выводом/обоснованием этой формулы или как борются с оценкой погрешности косвенных измерений при подготовке публикаций.

Одной из книг с математическими обоснованиями является Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений, 1962. Но в этой книге обсуждаются только погрешности прямых наблюдений и линейной регрессии (линейной модели) (и обсуждения указанной формулы нет).

Ref
1. Заярный, В.П. Лабораторный практикум по общему курсу "Физика" в 3 ч. Ч 1. Механика.
(pdf); Раздел Основные сведения по обработке результатов и оценке погрешностей измерений, подраздел 2 Обработка результатов косвенных измерений.
2. Лабораторный практикум по инженерной геодезии. — М.: "НЕДРА", 1990 (pdf); Часть II Геодезические измерения, Глава 3 Основные сведения по обработке результатов измерений и оценке их точности, § 12 Погрешности функций измерённых величин.

[worm2]

Это следует из:
1) приближённой формулы $f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) \approx f(x_1, \dots, x_n) + \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i;$
2) предположения о независимости $x_i$ друг от друга и малости их погрешностей;
3) свойства дисперсии (дисперсия — квадрат среднеквадратичного отклонения, которое является математической моделью физической погрешности измерения): дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

[GAA]

worm2, спасибо большое. Как-то так я себе недолго думая и представлял. А именно, положим $x_i = a_i + \xi_i$, где $a_i$ — математическое ожидание $x_i$, $\xi_i$ — «центрированная» случайная величина, имеющая туже дисперсию, что и $x_i$, и нулевое математическое ожидание. Далее, как Вы и написали,

$$f(x_1,\ldots, x_n) = f(a_1,\ldots, a_n) + \sum\limits_{i=1}^n \frac {\partial f} {\partial x_i} (a_1,\ldots\, a_n) \xi_i +\ldots.$$

Дисперсия суммы (в случае независимости $x_i$) будет равна сумме дисперсий, но как соотносится эта сумма дисперсий с дисперсией $f(x_1,\ldots, x_n)$? Там и многоточие, и математическое ожидание $f(x_1, \ldots, x_n)$ не равно $f(a_1, \ldots, a_n)$.
И что такое малость $\Delta x_i$ (в обозначениях этого сообщения $\xi_i$)?

Банальный пример. Пусть у нас $y = x_1/x_2$, $x_1$ и $x_2$ независимые и одинаково (для простоты) нормально распределены с единичным ожиданием и единичной дисперсией. Тогда отношение не имеет математического ожидания. Исходя из этого примера, можно грубо предположить, что случайные величины должны иметь такие носители (области с неравной нолю плотностью), чтобы подлежащая вычислению функция $f$ была определена (в частности, в случае дроби носители должны быть такими, чтобы знаменатель не обращался в ноль, например это может быть равномерно распределенные), либо, по крайней мере, несколько моментов были определены.

В эксперименте, как правило, нам не известны ожидания и дисперсии случайных величин $x_i$, а известны оценки: $\bar X_i$, $S_i^2 = \sqrt {\frac 1 {m(m-1)} \sum_{k=1}^m (X_{ik}- \bar X_i)}$. Формулу же записываем в виде

$$ S_y^2 = \sum\limits_{i=1}^n \left( \frac {\partial f} {\partial x_i} (\bar X_1,\ldots\, \bar X_n) \right)^2 S_i^2.$$

$S_y^2$ случит оценкой $\sigma_y^2$ (дисперсии $y$).

В простейших случаях для фиксированного $i$ величины $X_{ik}$ одинаково распределены («равноточные измерения») и выполнены условия ЦПТ, поэтому [при стремлении объёмов выборок к бесконечности] $\bar X_{i}$ стремятся по распределению к нормальному. Тут мы возвращаемся к вопросу о малости $\Delta x_i$ (в обозначениях этого сообщения $\xi_i$). В каком смысле они должны быть малыми?

[Понятно, что в реальном эксперименте число опытов не велико. Как правило на хвостах распределения отклонение от нормального заметно. Но как это всё более-менее описывается?]

[worm2]

Тут я точно не знаю. Но думаю, малость погрешностей — ключевой момент, при невыполнении которого формула из учебника перестаёт работать.
Т.е. носители случайных величин не только не должны выходить за пределы области определения $f$, но и её производные в пределах этих носителей должны меняться незначительно, чтобы линейное приближение работало с допустимой на практике точностью.
Ну и тут, наверное, ещё раз нужно подчеркнуть отличие теории от практики: в теории носители почти всех случайных величин (например, той же нормальной) бесконечны, но на практике можно считать, что они ограничены.