Норма матричного оператора.

[DarkOrion]

Дана задача: найти норму матричного оператора

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

в пространстве а) l^2_1 б) l^2_2 в) l^2_\infty

Если в б) я беру наибольшее собственное значение и получаю

$$\frac{5+\sqrt{33}}{2}$$

, то в а) и в) я не понимаю что делать.. Может есть какой-то общий метод?

[ewert]

DarkOrion писал(а):

Дана задача: найти норму матричного оператора

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

в пространстве а) l^2_1 б) l^2_2 в) l^2_\infty

Если в б) я беру наибольшее собственное значение и получаю

$$\frac{5+\sqrt{33}}{2}$$

Между прочим, напрасно. Это верно только для эрмитовых матриц. А в общем случае надо рассматривать $A^*A$.

В других двух случаях -- всё гораздо проще. Есть просто явные формулы для норм матриц.

[DarkOrion]

Не подскажете литературу? Я просто несколько стеснен в источниках знаний..

[ewert]

DarkOrion писал(а):

Не подскажете литературу? Я просто несколько стеснен в источниках знаний..

Хм, это не так просто. В книжках по линейной алгебре этого обычно не пишут. Надо смотреть литературу по численным методам, но и там часто пишут не всё, и в любом случае -- полнейший разнобой в обозначениях и терминологии.
Наверное, проще выписать готовые формулы:

$$\Vert A\Vert_{1}=\mathop{\rm max}\limits_k\sum\limits_i|a_{ik}|;$$

$$\Vert A\Vert_{\infty}=\mathop{\rm max}\limits_i\sum\limits_k|a_{ik}|;$$

$$\Vert A\Vert_{2}$$

-- это наибольшее "сингулярное число" матрицы $A$.

[DarkOrion]

Т.е.:

$$\Vert A\Vert_{1}=\mathop{\rm max}\limits_k\sum\limits_i|a_{ik}| = 6$$

(макимальная сумма модулей коэф-ов в одном столбце?)

$$\Vert A\Vert_{\infty}=\mathop{\rm max}\limits_i\sum\limits_k|a_{ik}| = 7$$

(макимальная сумма модулей коэф-ов в одной строке?)

[ewert]

Да.

[DarkOrion]

А есть ли ручной метод получения сингулярных чисел за приемлимое время? Я пока нашел только машинные алгоритмы %)

[Someone]

Сингулярные числа матрицы $A$ - это квадратные корни из собственных значений матрицы $A^*A$, то есть, корней алгебраического уравнения $\det(A^*A-\lambda E)=0$.

[DarkOrion]

$$ $A$ * $А$ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{pmatrix} $$

$(5-\lambda)*(13-\lambda) - 8*8$ = $\lambda^2 -18*\lambda + 1&
\lambda = \frac{18 \pm \sqrt{320}}{2}
$||A||$ = \sqrt{9 + \sqrt{80}}
Получается так? Как-то не очень похоже на правду, я где-то ошибся?

[ewert]

тихо-тихо. У Вас изначально была совсем другая матрица. Ежели ж она и впрямь симметрична, то и возиться с сингулярными числами ни к чему -- надо просто взять максимальный модуль её собственных чисел.

[DarkOrion]

Да, изначально другая была, просто к этой я знаю ответ)
У изначальной получается
$||A||$ = \sqrt{14.5 + \sqrt{209.25}}
Что тоже не очень совпадает с ответами...

upd:
Я пытаюсь найти два способа которые дадут одинаковые ответы, тем самым подтвердив свою правильность %)

[ewert]

DarkOrion писал(а):

Да, изначально другая была, просто к этой я знаю ответ)
У изначальной получается
$||A|| = \sqrt{14.5 + \sqrt{209.25}}$
Что тоже не очень совпадает с ответами...

Вообще-то для изначальной вроде как получается $\sqrt{15+\sqrt{209}}$.

---------------------------------------------
(эдак подозрительно: а у вас там в ответах, часом, не засажено $\sqrt{30}$? это было бы любопытно)

[Someone]

DarkOrion писал(а):

Да, изначально другая была, просто к этой я знаю ответ)
У изначальной получается
$||A||$ = \sqrt{14.5 + \sqrt{209.25}}
Что тоже не очень совпадает с ответами...

А потому что наврали в вычислениях. У меня получилось $\sqrt{15+\sqrt{221}}$.

DarkOrion писал(а):

Я пытаюсь найти два способа которые дадут одинаковые ответы, тем самым подтвердив свою правильность

Для второй (симметричной матрицы) получается наибольшее собственное значение $2+\sqrt{5}$, а наибольшее сингулярное число - $9+4\sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^2$, так что согласуется.

[ewert]

да, действительно 221. По расеянности умножил на 4.

[DarkOrion]

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Ответ:
2+\sqrt{5}
Находится как собственное значение.
Попытка решил через сингулярные числа дала:
\sqrt{9+2\sqrt{10}}

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
Ответ:
\sqrt{15+\sqrt{221}}

Добавлено спустя 38 секунд:

Господа, я позорно ошибся в арифметике, спасибо за помощь!

Добавлено спустя 38 минут 1 секунду:

$$ $A$ * $А$ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} $$

$\lambda^2 - 29*\lambda + 4 = 0
Я конечно понимаю, что все ушло в сторону арифметики, но где здесь ошибка? Никак не соображу..