I)
Ограничения:
Пусть

, где

II)
Утверждения:
Утверждение 1: Если

для всех

и

для всех

, тогда

для всех

.
Утверждение 2: Если

для всех

и

для всех

, тогда

для всех

.
По-моему мнению, Утверждение 1 верно в силу определения интеграла.
По-моему Утверждение 2 неверно. Положительность

- это положительность интегральной суммы произведения функций, и из-за отрицательности

часть этой суммы может уйти в минус на небольшом интервале, не приводят к отрицательности всей интегральной суммы. Раз это неверно, то должны существовать примеры таких функций.
Утверждение 3: Известно, что если

и

это плотности гамма-распределений

тоже описывает плотность гамма-распределения.
стр.66-67 в Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2. (Мир, 1967):

где

,

,

III)
Вопрос: Пусть

Можно ли привести пример функции

для которой
1) Условие

для всех

НЕ выполнялось, но при этом
2)

была бы плотностью вероятности, а именно

[/math] для всех

и
