Локальный минимум многочлена третьей степени

[Edward_Tur]

Доказать, что для любого $\varepsilon>0$ найдется многочлен третьей степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице, значение которого в точке локального минимума находится на интервале $(0,\varepsilon)$.

[nnosipov]

Я правильно понимаю, что это задача о том, что дробная часть числа вида $n^{3/2}$, где $n$ --- натуральное, может быть сколь угодно мала?

Upd. Если так, то вопрос решают числа $n=4k^2+1$.

Upd-2. Хотя нет, это для локального максимума. А для локального минимума нужно сделать дробную часть числа $-n^{3/2}$ сколь угодно малой. Здесь можно взять, например, $n=64k^4+16k$.

[svv]

Так же рассуждал. Взял многочлен $x^3-3px+q=0$, где $p,q$ натуральные. Точка локального минимума $x=\sqrt p$, а сам локальный минимум $-2p^{\frac 3 2}+q$, и можно подобрать $q$ так, что минимум будет $\{-2p^{\frac 3 2}\}$.