Факториалы-квадраты

[juna]

Докажите, что

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k-1)!\cdot m!}{(k+m+1)!}=\frac{1}{(m+1)^2}$$

[Edward_Tur]

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k-1)!\cdot m!}{(k+m+1)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{m!}{m+1}\left(\frac1{k(k+1)...(k+m)}-\frac1{(k+1)(k+2)...(k+m+1)}\right)=\frac{m!}{(m+1)(m+1)!}$$

[nnosipov]

Ну, Maple этот ряд берет легко.

[juna]

Edward_Tur
Рад, что инициировал вашу активность. Все верно. Правда мое решение совсем из другой оперы. Ваше элегантно и делает задачу тривиальной.

nnosipov

У меня его нету ).

[maxal]

Можно через бета-функцию:

$$\sum_{k\geq 1} \frac{(k-1)!m!}{(k+m+1)!} = \frac1{m+1} \sum_{k\geq 1} \int_0^1 t^{k-1} (1-t)^{m+1}\, {\rm d}t = \frac{1}{m+1} \int_0^1 (1-t)^m\, {\rm d}t=\frac1{(m+1)^2}.$$

[juna]

Я сводил это к другому интегралу:

$$\int_0^1\log\left(\frac{1}{1-x}\right)(1-x)^m dx=\frac{1}{(m+1)^2}$$

[maxal]

juna, по сути это то же самое, только вы добавили коэффициент $k$ в числитель, а я - $m+1$.