Доказательство существования цепной дроби

[mymind]

Помогите разобраться. Не понятно в доказательстве индукционное предположение.

Предложение. Каждое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.
Доказательство. Докажем, что для несократимой дроби $p / q$ существует представление в виде цепной дроби, используя индукцию по $q$. Для целых чисел ($q = 1$) это очевидно. Предположим, что представление в виде цепной дроби существует для всех дробей со знаменателями, меньшими $q$ ... (дальше нет смысла цитировать, потому что не понятно это место)

Почему делается такое предположение, почему со знаменателями меньшими $q$, в чем хитрость? Просто из принципа, что предположить можем всё, что угодно и лишь бы следствие было правильным?

[nnosipov]

mymind в сообщении #1564039 писал(а):

Почему делается такое предположение, почему со знаменателями меньшими $q$, в чем хитрость?

Потому что получается. Вероятно, так автору удобнее делать шаг индукции. Если шаг индукции проделан корректно, то какие могут быть здесь претензии? Это одна из форм рассуждения по индукции. Если авторское доказательство чем-то не нравится, предложите свое.

[mymind]

Понял. Спасибо!