Практическая математика школьникам

[Sonic86]

Я узнал, что мой племянник в 3-м классе будет изучать Scratch. Шок, который вызвала эта новость, сподвигла меня создать эту тему.

Все мы знаем, что математики для понимания вещей нужно больше той, которой учат в школе. В 6-м классе по физике уже неплохо бы знать производные для работы со скоростями и ускорениями. В 10-м классе по физике при изучении электрических цепей хорошо бы иметь представление о дифференциальных уравнениях. При изучении самой математики в школе очень полезно знать логику, эквивалентные преобразования выражений, множества, функции, раньше, чем они нужны. В 6-м классе (вроде бы) школьники сталкиваются с алгоритмом Евклида. И вот теперь на: в 3-м классе ребенку дают алгоритмы, но вообще в школе на математике их давать даже и не собираются. Какой-то кусок математики нужен для понимания информатики.
Получается, что школьная математика не выполняет свою роль: она учит не всему, что нужно, а только какой-то части, в основном базовой, выстроенной более-менее последовательно.
Я хочу эту "проблемку" решить для своих детей: пожертвовать последовательным построением знания в пользу полезности для понимания всего остального. Мне нужен просто список вещей, которые было бы полезно дать ребенку в разные года
Я скорее всего ломлюсь в открытую дверь: список этот наверняка где-то есть, но нагуглить я что-то сходу не смог. Может кто-нибудь подсказать, где такое найти, как это называется? Или надо самому "фиксить этот баг"?
Ребенок предполагается обычный, которому математика интересна лишь настолько, насколько м.б. интересно все остальное.

[upgrade]

Scratch обалденная штука для младшеклассников, мы начали где то толи во 2-и толи в 3-м и зависли в нем на два года. Жаль что школьная программа толко до 5 класса. Очень интересная вещь для малышни - маленькая ступенька в объектно ориентированное программирование и робототехнику, с которой довольно легко можно залезть в яваскрипт.

-- 01.09.2022, 22:35 --

Математика в игровой форме - шахматы, карты, нарды, го,...

[Mihr]

Sonic86 в сообщении #1563934 писал(а):

В 6-м классе по физике уже неплохо бы знать производные для работы со скоростями и ускорениями.

В результате перехода к 11-летнему образованию физика стала изучаться не с 6-го, а с 7-го класса. В 7-м классе понятие скорости вводится, но только для равномерного движения, а в остальных случаях используется понятие средней скорости движения. Производная здесь, очевидно, не требуется. Понятие ускорения впервые появляется в 9-м классе, но, по сути, лишь для двух частных случаев: ускорение свободного падения и центростремительное ускорение при равномерном вращении. В первом случае производная, по сути, не требуется, во втором - формула даётся без вывода, вывод откладывается до 10-го класса. Вот в 10-м классе производная и впрямь не помешала бы, но в большинстве школ она рассматривается лишь в 11-м классе. В любом случае дать понятие производной прежде знакомства с понятием функции, очевидно, невозможно. А функция в школе - это явно не 6-й класс, а попозже.

Sonic86 в сообщении #1563934 писал(а):

В 10-м классе по физике при изучении электрических цепей хорошо бы иметь представление о дифференциальных уравнениях.

Довольно удачная, как мне кажется, попытка ввести простейшие дифуравнения в арсенал школьника делается в книге Зельдовича и Яглома "Высшая математика для начинающих физиков, химиков и техников".

Sonic86 в сообщении #1563934 писал(а):

При изучении самой математики в школе очень полезно знать логику, эквивалентные преобразования выражений, множества, функции, раньше, чем они нужны.

Когда я учился в школе, как-то особо вперёд не забегал. И ничего, вроде бы. А конструкция "полезно знать... раньше, чем они нужны" мне кажется внутренне противоречивой.

Sonic86 в сообщении #1563934 писал(а):

В 6-м классе (вроде бы) школьники сталкиваются с алгоритмом Евклида.

Совершенно не помню такого. Мне кажется, не сталкивался. (Хотя нынешние школьники, может, и сталкиваются, не знаю).

Sonic86 в сообщении #1563934 писал(а):

школьная математика не выполняет свою роль: она учит не всему, что нужно, а только какой-то части, в основном базовой, выстроенной более-менее последовательно

Мне кажется, это как раз и означает, что школьная математика правильно выполняет свою роль. Всему научить невозможно, а последовательность в изложении математики более чем уместна.

[Sonic86]

Mihr в сообщении #1563966 писал(а):

Когда я учился в школе, как-то особо вперёд не забегал. И ничего, вроде бы. А конструкция "полезно знать... раньше, чем они нужны" мне кажется внутренне противоречивой.

Ой, я плохо сформулировал. Конструкция "раньше, чем они нужны" относилась только к функциям, и я хотел сказать "раньше, чем их проходят (в 6-м классе емнип)"

Mihr в сообщении #1563966 писал(а):

Довольно удачная, как мне кажется, попытка ввести простейшие дифуравнения в арсенал школьника делается в книге Зельдовича и Яглома "Высшая математика для начинающих физиков, химиков и техников".

Спасибо, записал.

Mihr, насчёт моих конкретных примеров - я мог где-то ошибиться, но пробелов в описанном "практическом плане" много. Одно отсутствие логики чего стоит. Т.е. конкретные пробелы я обсуждать не очень хочу. Мне нужен именно список пробелов (примерный) или как это называется, чтобы я это нагуглил.

upgrade в сообщении #1563947 писал(а):

Математика в игровой форме - шахматы, карты, нарды, го,...

Знакомству с логикой это не очень поможет.

upgrade в сообщении #1563947 писал(а):

Scratch обалденная штука для младшеклассников, мы начали где то толи во 2-и толи в 3-м и зависли в нем на два года. Жаль что школьная программа толко до 5 класса. Очень интересная вещь для малышни - маленькая ступенька в объектно ориентированное программирование и робототехнику, с которой довольно легко можно залезть в яваскрипт.

Я согласен с этим. Но тут надо априори знать, что твой ребенок хочет этим заниматься (и тогда не жалко загружать этим его голову). Либо получается нечто оторванное от всего, в лучшем случае просто игра.

[upgrade]

Sonic86 в сообщении #1563970 писал(а):

Знакомству с логикой это не очень поможет.

В игровой форме получает навык долго обдумывать разные варианты некоторой задачи и не просто обдумывать, а обсчитывать.

Sonic86 в сообщении #1563970 писал(а):

в лучшем случае просто игра.

Так это и нужно. В таком возрасте игра - самое лучшее для обучения.

[Mihr]

Sonic86 в сообщении #1563970 писал(а):

Мне нужен именно список пробелов (примерный) или как это называется

Именно такого списка я никогда не видел. Если под "пробелами" Вы понимаете то, что изучается в школе недостаточно либо не изучается совсем, то, наверно, стоит посмотреть в сторону олимпиадной математики. Метод индукции, делимость, различные системы счисления, элементы алгебры многочленов, принцип Дирихле, четность, раскраска, инварианты и полуинварианты, комбинаторика, некоторые задачи на графах, дополнительные теоремы планиметрии и стереометрии, комбинаторная геометрия, геометрические неравенства, экстремальные задачи, игры и стратегии... Возможно, что-то ещё. Причём здесь практически всюду порядок изучения этих дополнительных вопросов роли почти не играет - если их изучать в отрыве от школьной программы. Если же Вы хотите как-то увязать их со школьной программой, сделать "вставками" в неё, тогда уж надо смотреть конкретную программу, конкретный учебник под неё и размышлять, что где добавить, чтобы это хотя бы выглядело последовательным изложением. Ясно, что сходу "на коленке" такую программу не составить: надо смотреть, что именно Вы хотите добавить для обучения и для школьника какого возраста, да по какой программе он обучается в школе. В общем, тогда строить программу под конкретного малыша. Но есть ли в этом необходимость? Может, проще сначала попытаться заинтересовать его разными вопросами: глядишь, чем-нибудь и впрямь заинтересуется? И тогда по мере погружения в материал станет ясно, что можно было бы добавить ещё, что вяжется с изучаемым сейчас.
Ну, а если под "пробелами" Вы понимаете отсутствие логической строгости в подаче материала, то здесь остаётся развести руками. Всё изложить в школе строго и последовательно просто невозможно. Да, наверно, не очень-то и нужно. Школа даёт первоначальное знакомство с предметом, и для этой цели школьный уровень "строгости", как мне кажется, достаточен.

[novichok2018]

Недавно видел интересную публикацию - состоит из коротких заметок хороших математиков про практические применения математики. Что-то неожиданное и интересное узнал. Или здесь про совсем другое? Где посмотреть, что есть этот Scratch?

[zykov]

Википедия: Скретч (язык программирования)

[Sonic86]

Получается, что надо самому "фиксить баг". Буду фиксить.
Только мои дети еще маленькие и весь список я не выкачу. И всю их школьную программу я просто не знаю. Значит буду писать 1-2 раза в год.

Основная задача: дан школьник с неизвестным или со слабым интересом к математике. Ребенок сталкивается в реальной жизни с математикой, которой его в школе еще не научили или вообще не научат. Надо научить его работать с этой математикой.

Общие замечания:
1. Базовая школьная программа - легкая. Ребенок способен понять и выучить то, что ему нужно, раньше, чем за 3-4 класса. Поэтому если для понимания надо тему, которую ребенок еще не выучил - можно смело учить вперед. Например: двузначные числа, многозначные числа, часы, сложение и вычитание многозначных чисел, единицы измерения и т.п.. Поэтому темы, которые в точности есть в школьной программе я тут писать не буду.
2. Темы, которые Вы хотите ребенку объяснить, но которых еще нет или не было в школьной программе, скорее всего недостаточно просто рассказать словами. Нужно их учить какое-то время, как и школьную программу - от недели до месяца, систематически и с решением задач. Трудно и муторно, зато ребенку тема будет точно понятна и польза будет.
3. Если для понимания какой-то темы требуется несколько взаимосвязанных тем - можно просто выучить их по очереди. Ну и вообще полезно юзать любые педагогические принципы. Например, если ребенок ниасиливает сложную задачу, нужно дать ему задачу попроще. Лучше, если ребенок чем-то мотивирован и т.п.

Что может понадобиться в 1-м классе:

Задача: рассказать о нуле.
Решение: стандартное + давать задачи типа $0+5; 9+0; 9-0; 7-7; 5-5$ и т.п.

Задача: познакомить с коммутативностью.
Решение: просто рассказать, что $2+3=3+2$, $5+7=7+5$ и т.п.. Или предложить вычислить обе части самому. Для ребенка, которого в школе учат складывать через инкремент, сложности задач $8+1$ и $1+8$ сильно отличаются и коммутативность облегчает решение таких задач. Для закрепления давать много задач вида $1+8$, $2+7$. Саму коммутативность можно называть "перестановочность" или никак не называть. Наверное можно рассказать, что "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".

Задача: понять двузначные числа, научиться их складывать и вычитать.
Для решения требуется: знать что такое нуль, полезно знать о коммутативности сложения.
Решение: спросить, чему например равно $7+3$ и как записать ответ? Рассказать, что 10 - это $9+1$ или $5+5$. Рассказать, что $20$ - это два десятка, $30$ - это 3 десятка и т.п. Можно предложить простые задачки типа "вычислить $20+30$", объяснить их решение через естественный язык и аналогию с единицами измерения: 2 ящика + 3 ящика = 5 ящиков, а 2 десятка + 3 десятка = 5 десятков.
Можно научить складывать и вычитать двузначные числа через разложение двузначных чисел на десятки и единицы, чтобы ребенок мог оперировать этим сразу в уме, а не только с помощью ручки и листочка. Например: $14 + 8 = 10 + 4 + 8 = 10 + 12 = 10 + 10 + 2 = 20 + 2 = 22$. У меня ребенок так и не привык преобразовывать терм целиком, ему легче было все делать по одной операции. Например, так:
$14 = 10 + 4$
$4 + 8 = 12$
$10 + 12 = 22$
Также проблема была в том, что в школе ребенка учили складывать через инкремент. Чтобы ребенок использовал разложение на десятки и единицы, а не складывал через инкремент, можно предложить задачи типа вычислить $52+35$.

Задача: понять многозначные числа
Для решения требуется уметь: работать с двузначными числами
Решение: понимать по аналогии с двузначными числами. Показать, что $1984 = 1000 + 900 + 80 + 4$. Рассказать, что 80 - это восемь десятков, 900 - девять сотен и т.п.. Так мы используем "встроенное" в естественный язык умножение и избегаем необходимости его учить для понимания многозначных чисел. Рассказать, что 100 - это десять десятков, 1000 - это десять сотен и т.п.. Можно предложить простые задачки типа "вычислить $200+300$, $40+20$", объяснить их решение через естественный язык и аналогию с единицами измерения: 2 ящика + 3 ящика = 5 ящиков, а 2 сотни + 3 сотни = 5 сотен. Можно рассказать, что число нулей справа ничем не ограничено: $1, 10, 100, 1000, ...$.

Задача: понять, что в книгах значит "1984 год"
Решение: сводится к объяснению многозначных чисел.

Задача: научиться работать с часами. Понимать сколько сейчас времени, сколько прошло времени с какого-то события, сколько надо ждать до какого-то события.
Для решения требуется уметь: работать с двузначными числами и с составными единицами измерения (имеются ввиду линейно зависимые единицы измерения).
Решение: Для простоты нужно ограничиться операциями со временем в пределах одного дня. Рассказать, что $1\text{ час} = 60\text{ минут}$. Нужно различить моменты времени и длительности (моменты можно привязать к дате, длительности - нельзя). Давать простые задачи, когда они возникают в реальной жизни. Сильно подробно не пишу - мои попытки имели переменный успех. Тут наверное важно давать больше простых задач и поменьше теории. Возможно, где моменты, а где длительности нужно сначала показывать в задачах самому, а только потом спрашивать это у ребенка.

Задача: объяснить, что такое алгоритм.
Вариант решения: я показывал рецепты (например, как приготовить пюре) и предлагал найти в них ошибки. Так можно легко выйти на операционную семантику. Приятного и понятного синонима слова "алгоритм" я не нашел. Сильно не пытался этому учить - оставил на следующий класс, чтобы быть готовым к Scratch-у. По идее можно показать блок-схемы на близкие ребенку темы, но я не пробовал.

-- Вс сен 04, 2022 10:33:48 --

Mihr в сообщении #1564012 писал(а):

Если под "пробелами" Вы понимаете то, что изучается в школе недостаточно либо не изучается совсем, то, наверно, стоит посмотреть в сторону олимпиадной математики.

Олимпиадной математики в т.н. "реальной жизни" попадает не очень много. И школьник априори не мотивирован к ней.

Mihr в сообщении #1564012 писал(а):

Ну, а если под "пробелами" Вы понимаете отсутствие логической строгости в подаче материала, то здесь остаётся развести руками.

Нет, ровно наоборот: о строгости скорее приходится вообще забыть. Для младших классов точно, для старших - не знаю пока.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #1564133 писал(а):

Приятного и понятного синонима слова "алгоритм" я не нашел.

Мне вот слово "рецепт" нравится, частенько его употребляю. Еще можно "инструкция".

[Mirage_Pick]

Sonic86 в сообщении #1564133 писал(а):

Ребенок сталкивается в реальной жизни с математикой, которой его в школе еще не научили или вообще не научат.

А что есть в реальной жизни из математики, чему вообще не учат в школе? Процентам $-$ учат. Координатную плоскость $-$ учат. Что-то больше ничего не приходит в голову, что бы понадобилось обычному человеку в жизни...

[Aritaborian]

Mirage_Pick в сообщении #1564137 писал(а):

Что-то больше ничего не приходит в голову, что бы понадобилось обычному человеку в жизни...

Пропорции, например. Некоторые геометрические построения. Этому, впрочем, тоже учат.

[Sonic86]

Mirage_Pick в сообщении #1564137 писал(а):

А что есть в реальной жизни из математики, чему вообще не учат в школе?

Алгоритмам, логике. М.б. еще чему-то, с ходу не могу сообразить.

[EUgeneUS]

Sonic86 в сообщении #1564133 писал(а):

Задача: понять, что в книгах значит "1984 год"
Решение: сводится к объяснению многозначных чисел.

Не сводится.

[Sonic86]

Прошел еще год моих попыток учить моих детей математике, 2-й класс. Результаты такие:

Задача: Подстановки
Решение: Дети нормально осваивают подстановки, только задачи нужно придумывать сильно извращенные на них, иначе ребенок вместо применения подстановки просто складывает или вычитает. Но много задач я не давал - не хватает базы для их применения.

Задача: на подстановку: Вычислить $4+6+4+6$ с помощью только 2-х сложений.
Решение: ребенок делает такое сразу с 1-го раза или с 1-го раза с подсказками. С другой стороны, задачи типа "найти $6\cdot 8$ с помощью всего 3-х сложений" вызывают непонятные трудности.

Задача: понимание простых переменных или обозначение
Для решения требуется уметь: делать подстановки
Решение: дети нормально осваивают переменные, задачи типа найти $b \cdot 1$, $b-b$, $0+a$ проблем не вызывают. Самая трудная задача была найти $a+a$.

Задача: Использование коммутативности и ассоциативности для упрощения вычислений
Решение: Дети могут это делать, но приходится подбирать извращенные задачи, чтобы ребенок использовал эти законы, а не выполнял сложение или вычитание тупо в лоб (Например, вычислить $37+68+73-5-73-68$ в лоб не получится, если ребенок не готов к работе с 3-хзначными числами, чем я и пользовался. А для ассоциативности я давал задачи типа найти $8\cdot 28 - 8 \cdot 22$). И в целом ребенок понимает применение законов как таковых, но выписать формально что он делает через подстановки он, видимо, не способен. Т.е. через аналогию понимает, а через подбор нужной подстановки - нет, хотя, казалось бы, все нужные детали ему даны.

Задача: Геометрические задачки а-ля дан отрезок, на нем несколько точек, известны длины каких-нибудь отрезков, найти длины других отрезков. Такие задачи вылазят как подзадачи при решениии задач на часы.
Решение: дети могут это делать, но с усилием и тормозами - сильно не учил, но легко не идет

Задача: Найти площади прямоугольников и Г,П,U-образных фигур.
Решение: такие задачи дети учатся решать быстро. Хотя это вряд ли сильно нужная в жизни задача, но она была легкая :)

Задача: продолжить последовательность (арифметические прогрессии с шагами от -3 до 3)
Решение: решают с ходу, в частности ребенок может построить таблицу умножения по закономерностям, которые он обнаруживает в ней сам при построении

Задачи с часами.

Задача: Определить время по старым (12-часовым) часам.
Решение: Примерно после 10 занятий ребенок способен это освоить, но потом может что-то забыть. Но тут надо постараться - желательно, чтобы ребенок понимал, что часы измерять время, как линейка измеряет расстояние. Без этого объяснения приходится подкостыливать.

Задача: Найти длительность процесса по его началу и концу или найти один конец процесса по длительности и другому концу.
Решение: Ребенок способен этому научится, но не очень. Плохо получается сделать расчет в уме. Плохо получается определить выбор нужной операции - тут надо различать моменты и длительности (точки и векторы аффинного пространства как объяснить). Нужно в целом понимать, что такое измерение (например, измерение длины). Ну и задачи вида "сколько ребенок спал", где надо "перепрыгивать" на следующие сутки я не давал - скорее всего они бы вызвали дополнительные трудности.

Задача: Более сложные задачи со временем
Нерешение: Тут все совсем плохо ввиду того, что более простые задачи уже не решаются легко. Например задача о том, что если я из точки $A$ вчера вышел в момент $t_1$ и пришел в точку $B$ в момент $t_2$, а сегодня я на 15 минут опаздываю, то во сколько я приду?

В целом вроде бы все неплохо, но ребенок все это довольно быстро забывает.

К сожалению, но этом эксперимент окончен по техническим причинам. Можно было бы еще много всего рассказать: функции, простая геометрия, расстояния какие-нибудь.