2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Old Competition
Сообщение24.08.2022, 13:28 


01/08/19
96
Let
$$\overrightarrow{x_0}=\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})}{1+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$$
prove that
$$\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{a}\times\left(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{b}\right)$$
for all $\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\in V^3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition
Сообщение24.08.2022, 16:24 
Аватара пользователя


07/01/16
1450
Аязьма
You can always use a dirty trick just taking $\vec{a}=(1,0,0), \vec{b}=(x,y,z)\Rightarrow\vec{x}_0=\vec{a}\times(\vec{x}_0+\vec{b})=\frac12\left(0,-y-z,y-z\right)$ but this skips all the magic :-)

-- 24.08.2022, 16:35 --

+ somewhat funny that the problem is in fact defined by two scalars $y, z$, not two vectors

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition
Сообщение24.08.2022, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5457
Нов-ск
Просто подставил, использовал свойство двойного векторного произведения $BAC-CAB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition
Сообщение24.08.2022, 17:50 
Аватара пользователя


07/01/16
1450
Аязьма
waxtep в сообщении #1563404 писал(а):
+ somewhat funny that the problem is in fact defined by two scalars $y, z$, not two vectors
Even simpler: one scalar, not two, as we can safely assume that $\vec{a}\bot\vec{b}$

-- 24.08.2022, 18:21 --

So, $\vec{a}\vec{a}=1,\vec{a}\vec{b}=0,\vec{a}\times\vec{b}\equiv\vec{c}\Rightarrow\vec{a}\times\vec{c}=-\vec{b},\vec{x}_0=\frac12(\vec{c}-\vec{b})=\vec{a}\times(\vec{x}_0+\vec{b})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition
Сообщение25.08.2022, 03:34 
Аватара пользователя


07/01/16
1450
Аязьма
For fun's sake, the most sophisticated way of writing the same I was able to find: let $k=\dfrac{\vec{a}\vec{b}}{a^2}$ - the problem defining scalar and $\vec{d}=\vec{b}-k\vec{a}$ - the portion of $\vec{b}$ that is orthogonal to $\vec{a}$.
Note that $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{d},\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})=-a^2\vec{d}$
Hence,
$\vec{a}\times(\vec{x}_0+\vec{b})=\dfrac1{1+a^2}\,\vec{a}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}+\vec{d}+k(1+a^2)\vec{a}\right)=\dfrac1{1+a^2}\left(\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})+\vec{a}\times\vec{b}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition
Сообщение25.08.2022, 11:54 


02/04/18
240
TOTAL в сообщении #1563407 писал(а):
Просто подставил, использовал свойство двойного векторного произведения

Собственно, так и есть. Я сначала решил выпендриться, записывая векторные произведения через антисимметричный тензор, но быстро (почти сразу) сообразил, что проще оперировать с вектором $\vec{y}=\vec{x_0}(1+a^2)$. Второе выражение из условия выглядит точно также, а в первом исчезнет знаменатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Old Competition
Сообщение23.09.2022, 20:39 


30/08/22
15
for all $\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\in V^3 \;  $ - не получится
получится только - for all $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\in V^3 \;  $
:D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group