Описать класс кривых с постоянным кручением

[Cervix]

Описать класс кривых с постоянным кручением: $\kappa(l)=const$.
Как она решается? Или есть место, где она решена?

[e7e5]

Поиск в инете дает список задач
http://dfgm.math.msu.su/files/v2006zad.pdf
Раздел "Кривые" - задача 8. Может кто-то из студентов и решал... Сорри

[Cervix]

e7e5 писал(а):

Поиск в инете дает список задач
http://dfgm.math.msu.su/files/v2006zad.pdf
Раздел "Кривые" - задача 8. Может кто-то из студентов и решал... Сорри

Нет, 8я задача проще этой. (во всяком случае, я ее когда-то решал)

[Не_вари_козла]

Как, как... Приравнять кручение константе и придумать подходящую параметризацию.

[Профессор Снэйп]

А кривые берутся в $\mathbb{R}^3$?

Если да, то разве это не спирали?

[Cervix]

Профессор Снэйп писал(а):

А кривые берутся в $\mathbb{R}^3$?

Если да, то разве это не спирали?

Да, в $\mathbb{R}^3$. Нет, винтовые линии имеют постоянную кривизну, т.е. исследуемый класс шире. Или вы что-то другое имеете ввиду под спиралями?

[Brukvalub]

Докажите, что кривая

\[\vec r(s)\]

имеет постоянное кручение

\[\kappa \ne 0\; \Leftrightarrow\]

найдется произвольная достаточно гладкая кривая b(t) , целиком расположенная на единичной сфере, для которой

\[ \vec r(s) = \frac{1}{\kappa }\int\limits_0^s {(\vec b(} t) \times \frac{{d\vec b(t)}}{{dt}})dt \]

Понимаю, что это описание - не слишком изящное, но о другом я не слыхал.

[Профессор Снэйп]

Cervix писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

А кривые берутся в $\mathbb{R}^3$?

Если да, то разве это не спирали?

Да, в $\mathbb{R}^3$. Нет, винтовые линии имеют постоянную кривизну, т.е. исследуемый класс шире. Или вы что-то другое имеете ввиду под спиралями?

Да, винтовые линии я и имел в виду. Слаб в геометрии, попутал.

[zoo]

Cervix писал(а):

Описать класс кривых с постоянным кручением: $\kappa(l)=const$.
Как она решается? Или есть место, где она решена?

Вопрос действительно хороший. Особенно если учесть, что когда $\kappa(l)\ne 0$ и не постоянна, то можно так заменить переменную $l$ в уравнениях Френе, что мы получим новые уравнения Френе, у которых кручение будет тождественно равно единице. Поэтому, тот, кто научится описывать кривые с постоянным кручением, тот научится описывать вообще почти все кривые.

[Someone]

А что, разве кручение не инвариантно относительно (достаточно "хороших") замен параметра?

[zoo]

Someone писал(а):

А что, разве кручение не инвариантно относительно (достаточно "хороших") замен параметра?

ели в уравнениях Френе от переменной $l$ перейти к переменной $t$ по формуле $t=\int_{t_0}^t\kappa(l)dl$ то полученные уравнения тоже можно будет считать уравнениями Френе некоторой другой кривой в этих новых уравнениях френе $\kappa=1$ тождественно.

[Someone]

Ах, это другая кривая...

[zoo]

Someone писал(а):

Ах, это другая кривая...

речь идет об описании, одну кривую можно описывать через другую см. пост Брюкволюба например