Непонятное преобразование в пределе

[Gyros]

В книге <Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве> Тот Фейеш писал(а):

имеем:
$\lim\limits_{R\to\infty}^{}\frac{\sum\limits_{R}^{}(8K_i-S_i)}{K(R)}=\lim\limits_{R\to\infty}^{}\frac{\sum\limits_{R}^{}(8\pi-S_i)}{K(R)}=8$,
откуда учитывая, что
$S_i \geqslant S(6)=8\pi-12\sqrt{3}$,
получим требуемое неравенство:
$\lim\limits_{R\to\infty}^{}\frac{\sum\limits_{R}^{}\pi}{K(R)}\leqslant\frac{2\pi}{\sqrt{27}}$.

(здесь)

сам предел - плотность покрытия плоскости равными кругами единичного радиуса,
$K_i -$ площадь $ i $-ой единичной окружности,
$K(R)$-площадь окружности радиуса $R$,
$S_i$-сумма площадей круговых двуугольников.

Не понятно как пришли к последнему неравенству?
Ведь если формально подставить в первый предел $S(6)$, то $8\pi$ сократиться и уже не будет $\sum\limits_{R}^{}\pi$ в числителе требуемого неравенства.

(Изображение из книги <Тот Фейеш Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве>)

[Lia]

Смотрите. Тут три строки. Можно набрать.
И боюсь, что без расшифровки обозначений (в т.ч. из параграфа 1) не обойтись.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Gyros
Давайте начнём вот с чего. Отлистайте 10 страниц назад. На странице 101 есть неравенство:

Цитата:

Если $D$ — плотность системы равных кругов, полностью покрывающих плоскость, то

$$D\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{27}}=1{,}209...\eqno{(2)}$$

Найдите в нём 2 ошибки, одна из которых перекочевала и на страницу 111.

(Скан)

[Gyros]

Потеряно умножение на 2 и знак отношения наоборот.
Правильно так:

Цитата:

$D \geqslant \frac{2 \pi}{\sqrt{27}} = 1,209...\qquad \qquad \qquad (2)$

PS. Но вроде эти опечатки (в русском издании) не влияют на вышеуказанное затруднение.
Понятно, что на стр. 111 знак в окончательном неравенстве будет $\geqslant$, т.е там тоже опечатка.

[svv]

Gyros в сообщении #1563366 писал(а):

Потеряно умножение на 2 и знак отношения наоборот.

Отлично. Теперь мы точно знаем, что надо получить.

Из $S_i\geqslant 8\pi-12\sqrt 3$ следует $12\sqrt 3\geqslant 8\pi-S_i$ .
Значит,
$\begin{array}{l}\lim\limits_{R\to\infty}\dfrac{\sum\limits_R 12\sqrt 3}{K(R)} \geqslant \lim\limits_{R\to\infty}\dfrac{\sum\limits_R(8\pi-S_i)}{K(R)}=8\\[2ex]\lim\limits_{R\to\infty}\dfrac{\sum\limits_R 1}{K(R)} \geqslant \dfrac{8}{12\sqrt 3}=\dfrac{2}{\sqrt{27}}\end{array}$
Умножим обе части на $\pi$.
$\lim\limits_{R\to\infty}\dfrac{\sum\limits_R \pi}{K(R)} \geqslant \dfrac{2\pi}{\sqrt{27}}$
Слева предел отношения суммарной площади всех круглых салфеток единичного радиуса к площади покрытого ими большого круга. А это и есть искомая плотность $D$.
$D\geqslant \dfrac{2\pi}{\sqrt{27}}$

[Gyros]

Спасибо svv!
Не догадался я до $\sum\limits_{R}^{}1$. Понял, что надо быть аккуратнее с неравенствами.

(PS)

Вот из-за таких мест и потом создается впечатление, что вроде бы прочитал, идея понятна, но... не понятно; дьявол в мелочах. И не знаешь, что делать столкнувшись с этим: читать ли дальше? или биться с непонятным местом, топчась на месте. Ладно, пошел читать дальше.

[svv]

Gyros, ок.

Gyros в сообщении #1563413 писал(а):

$\sum\limits_{R}^{}1$

Хочется назвать это считающей суммой, counting sum.

P.S. Я заглянул в оба немецких издания (есть на LibGen), мне было интересно, есть ли там аналогичные опечатки. И вообще не нашёл соответствующего места. Раза три пролистал. Конечно, не исключаю, что невнимательно искал, но, похоже, точно такого вывода неравенства там нет. В таком случае, разве так можно переводить математические книги? Переводчики несут тройную ответственность за ошибки в кусках текста, добавленных (а не переведенных) ими собственноручно.

[Gyros]

И в издании 1953, и 1972 это доказательство присутствует. В обоих - без найденных двух опечаток.
Зато в русском издании редактором был И. М. Яглом, который написал комментарии, очень ценные.

(издание 1953, стр 65)

[svv]

Спасибо. Значит, я всё-таки невнимательно искал.
Точнее, не там искал, не на тех страницах (80-120).