Задачник по алгебре под ред. Кострикина, задача 37.20

[Kuga]

К сожалению, к этой задаче нет ни ответов, ни указаний. Может кто-нибудь проверить мое решение и сказать все ли здесь верно?
Задача 37.20: Пусть $F=C(x)$ -- поле рациональных функций с автоморфизмом, при котором $x\to \varepsilon x^\tau:=\bar{x}$, где $\varepsilon,\tau=\pm 1$, $(\varepsilon,\tau)\neq (1,1)$. В поле
$K=F[y]/(y^4-x)$ как векторном пространстве над $F$ задана функция

$$ f(u,v)=u(x,y)v(\bar{x},y)+u(x,iy)v(\bar{x},iy)+u(x,-y)v(\bar{x},-y)+u(x,-iy)v(\bar{x},-iy) $$

б) Доказать, что эта функция полуторалинейна.
в) Найти матрицу $f(u,v)$ в базисе $1,y,y^2,y^3$ пространства $K$ над полем $F$.

Решение.
б) Полуторалинейность следует из формулы $f(\lambda (x)u, \mu(x) v)=\lambda(x)\mu (\bar{x})f(u,v)$.

в) Имеем $\bar{y}=\omega y^\tau$ для некоторого корня 4-ой степени из единицы $\omega$. Поэтому

\begin{align*} f_{j,k}=f(y^j,y^k)&=y^j\cdot (\omega y^\tau)^k+(iy)^j\cdot (i\omega y^\tau)^k+(-y)^j\cdot (-\omega y^\tau)^k+(-iy)^j\cdot (-i\omega y^\tau)^k\\ &=\begin{cases} 4y^{j+\tau k}\omega^k ~~~\text{при}~~~ k+j\equiv 0 ~(\mod ~4)\\ 0 ~~~\text{при}~~~ k+j\not\equiv 0 ~(\mod~ 4) \end{cases} \end{align*}

Отсюда следует что только 4 элемента матрицы $f$ будут отличны от 0 при $(j,k)\in\{(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)\}$. Но тут проблема в том, что
$4y^{j+\tau k}\omega^k\not\in F$ при $(j,k)=(1,3)$ или $(j,k)=(3,1)$ когда $\tau=-1$.

Может я неправильно понял, что означает запись $v(\bar{x},iy)$ ? Если $v(x,y)=y(x)$, то я понимаю это как одно из решений уравнения
$y^4-\bar{x}=0$ умноженное на $i$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: размещайте учебные темы в этом разделе.