Краевая задача для уравнения теплопроводности

[Nurgali]

Здравствуйте!
При рассмотрении задачи
$ u_t=a^2u_{xx}, $
$ u\big|_{x=0}=u\big|_{x=l}=0, $
$ u\big|_{t=0}=0 $
предполагаем, что $u\in C(\overline{D})\cap C^{2,1}_{x,t}(D)$.

Если рассматриваем задаче с граничными условиями $u_x\big|_{x=0}=u\big|_{x=l}=0$, то нужно найти функцию $u\in C(\overline{D})\cap C^{2,1}_{x,t}(D)\cap C^{1}_{x}(\overline{D})$?

[Vince Diesel]

Да. Хотя чего ее искать, $u\equiv0$

[Nurgali]

Прошу помочь разобраться!

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности $u_t=a^2u_{xx}$ на отрезке. Здесь $u(x,t)\in C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)$.

Для второй и третьей краевых задач $u(x,t)\in C_{x,t}^{1,0}\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)$
или
$u(x,t)\in C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap \in C_{x}^{1}\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)$?

[Vince Diesel]

В чем разница между пространствами $C_{x,t}^{1,0}\left([0,l]\times[0,T]\right)$ и $C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap \in C_{x}^{1}\left([0,l]\times[0,T]\right)$?

[Nurgali]

Vince Diesel в сообщении #1563376 писал(а):

В чем разница между пространствами $C_{x,t}^{1,0}\left([0,l]\times[0,T]\right)$ и $C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap \in C_{x}^{1}\left([0,l]\times[0,T]\right)$?

Тоже показалось, что разницы нет. Просто в разных учебниках пишут по разному. Поэтому были сомнения.

-- Ср авг 24, 2022 14:42:00 --

Если рассматривается задача со смешанными краевыми условиями, например, со условиями $u_x\big|_{x=0}=u\big|_{x=l}=0$, то нужно найти функцию

$1) u(x,t)\in C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x}^{1}\left([0,l)\times(0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)$;

$2) u(x,t)\in C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x}^{1}\left([0,l)\times[0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)$;

$3) u(x,t)\in C\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x}^{1}\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)= =C_{x,t}^{1,0}\left([0,l]\times[0,T]\right)\cap C_{x,t}^{2,1}\left( (0,l) \times (0,T] \right)?$

[Vince Diesel]

При непрерывных начальной и граничных функциях, существование и единственность будет в 1), т.о. этой постановки хватит. Во втором случае для существования надо накладывать дополнительные условия на данные в угловых точках $(0,0)$, $(l,0)$. На правом конце производной может не существовать, если граничная функция в условии первого рода только непрерывна.

[Nurgali]

Спасибо большое!