Свертка Лапласа как предел суммы?

[Divergence]

Например, возьмем простейшее определение определенного интеграла функции $f(x) \in C[0,\infty)$ на действительной полуоси

$$ \int^b_a \, f(x) \, dx \, = \, \lim_{n \to \infty, \lambda \to 0} \sum^n_{k=1} f(\xi_k) \, \Delta x_k , $$

где $0=a=x_0 <x_1< \dots <x_n =b$ и

$$ \Delta x_k \, = \, x_k \, - \, x_{k-1}, \quad \lambda \, = \, \text{max}_{k\in \{1, \dota, n} \Dealta x_k . $$

Зорич В.А. Математический анализ. Том 1. М.: Наука, 1981. стр 337-338.
От себя взял полуось вместо действительной оси и $f(x) \in C[0,\infty)$.

Рассмотрим свертку Лапласа на действительной полуоси

$$ (g, \, f)(x) \, = \, \int^x_0 \, g(x \, - \, x') \, f(x') \, dx' . $$

Пусть $f(x), \, g(x) \in C[0,\infty)$.

Можно ли применить написанное определение интеграла для свертки Лапласа (конволюции)?

$$ \int^x_0 g(x-x') \, f(x') \, dx' \, = \, \lim_{n \to \infty, \lambda \to 0} \sum^n_{k=1} g(x - \xi_k) \, f(\xi_k) \, \Delta x_k , $$

или

$$ \int^b_0 g(b-x) \, f(x) \, dx \, = \, \lim_{n \to \infty, \lambda \to 0} \sum^n_{k=1} g(b - \xi_k) \, f(\xi_k) \, \Delta x_k . $$

Желание рассмотреть простейший случай без экзотики.

Есть ли здесь подвох в таком определении свертки, например, из-за того, что использую в сумме $g(b - \xi_k)$, а не $g(b - \xi_k)$ ?

Если нельзя так представить свертку Лапласа, то как ее можно записать в виде суммы, не сильно мудрствуя?

Подскажите пожалуйста книги или статьи (на русском или анг), где рассматривают простейшие случаи дискретизации свертки Лапласа, типа

$$ \int^x_0 g(x-x') \, f(x') \, dx' \, \approx \, \sum^n_{k=1} \dots . $$

[svv]

Divergence в сообщении #1562574 писал(а):

Рассмотрим свертку Лапласа на действительной полуоси

$$(g, \, f)(x) \, = \, \int^x_0 \, g(x \, - \, x') \, f(x') \, dx' .$$

Это значит, что каждому $x>0$ Вы ставите в соответствие интеграл с нижним пределом $0$, верхним пределом $x$ и подинтегральной функцией (от одной переменной $x'$), равной $g(x-x')f(x')$. (Обратите внимание, что при фиксированном $x$ пределы интегрирования и подинтегральная функция также фиксированы.) Теперь подставьте всю эту конкретику в определение.

Divergence в сообщении #1562574 писал(а):

Есть ли здесь подвох в таком определении свертки, например, из-за того, что использую в сумме $g(b - \xi_k)$, а не $g(b - \xi_k)$ ?

Уже две минуты сравниваю эти выражения, даже их латеховский код, и думаю: в чём подвох?

[Divergence]

Извиняюсь за опечатку. Имел ввиду использую в сумме $g(b - \xi_k)$, а не $g(\xi_k)$.

Написанное определение определенного интеграла в некотором смысле связано с Интегральной теоремой о среднем.
В этом случае, например, первый подвох может быть в "в первой теореме о среднем для интеграла" (Зорич Теорема 5 стр.358-359).
В этой теореме, накладывается дополнительное ограничение на $g(x)$:
Если $g(x)$ неотрицательна и $f(x) \in C[0,\infty)$, то

$$ \int^b_a g(x) \, f(x) \, dx \, = \, f(\xi) \, \int^b_a g(x) \, dx . $$

Для обычного (несвертки) определенного интеграла существующая Интегральная теорема о среднем и свойство аддитивности интеграла позволяют написать

$$ \int^b_a \, f(x') \, dx' \, = \, \sum^n_{k=1} \, \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, f(x') \, dx' \, = \, \, = \, \sum^n_{k=1} \, f(\xi_k) \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, \, dx' \, = \, \, = \, \sum^n_{k=1} \, f(\xi_k) (x_k \, - \, x_{k-1}) . $$

Для теоремы о среднем полагаем $f(x) \in C[0,\infty)$.

Работает ли это свойство и, прежде всего, эта теорема также хорошо и для свертки?
Не окажется ли, например, в качестве второго подвоха, что правильно надо писать вот так

$$ \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, g(x \, - \, x') \, f(x') \, dx' \, = \, \, = \, f(\xi_k) \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, g(x \, - \, x') \, dx' \, = \, \, = \, f(\xi_k) \, g( x \, - \, \eta_k) \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, dx' , $$

где $\xi_k \ne \eta_k$. Пусть $f(x), \, g(x) \in C[0,\infty)$.
Можно сказать, для меня вопрос об интегральной теореме о среднем не менее важен, чем про предел.

[Someone]

Divergence в сообщении #1562606 писал(а):

Для обычного (несвертки) определенного интеграла существующая Интегральная теорема о среднем и свойство аддитивности интеграла позволяют написать

$$ \int^b_a \, f(x') \, dx' \, = \, \sum^n_{k=1} \, \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, f(x') \, dx' \, = \, \, = \, \sum^n_{k=1} \, f(\xi_k) \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, \, dx' \, = \, \, = \, \sum^n_{k=1} \, f(\xi_k) (x_k \, - \, x_{k-1}) . $$

Для теоремы о среднем полагаем $f(x) \in C[0,\infty)$.

Работает ли это свойство и, прежде всего, эта теорема также хорошо и для свертки?

Я не понял, какая разница. Разве накладываются какие-нибудь ограничения на способ записи функции $f(x)$ формулой?

(Divergence)

Зачем Вы вставляете в формулы тьму коротких пробелов "\," и двойные знаки равенства? Чем хуже обычная запись

$$\int\limits^b_af(x')dx'=\sum^n_{k=1}\int\limits^{x_k}_{x_{k-1}}f(x')dx'=\sum^n_{k=1}f(\xi_k)\int\limits^{x_k}_{x_{k-1}}dx'=\sum^n_{k=1}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})?$$

Я бы оставил короткий пробел только перед $dx'$, если он идёт сразу после буквы или цифры ($a\,dx'$ лучше, чем $adx'$), и вставил бы команды \limits после \int, чтобы пределы интегрирования стояли не сбоку от знака интеграла, а под и над ним. А пробелы TeX сам расставляет в большинстве случаев очень хорошо.

[Divergence]

Тут, вроде, не просто способ записи функции, а несколько другой тип функции.
А именно, под интегралом стоит не $f(x')$, а функция двух переменных

$$ F(x,x') \, = \, g(x-x') \, f(x') $$

и первая переменная является верхним пределом.

Потом, кажется очевидным, что для равенства в формуле, применение теоремы "первой теореме о среднем для интеграла" (Зорич Теорема 5 стр.358-359) , а потом обычной формы интегральной теоремы о среднем (как написал выше), получим

$$ \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, g(x \, - \, x') \, f(x') \, dx' \, = \, f(\xi_k) \, g( x \, - \, \eta_k) \, \Delta x_k , $$

где $\xi_k \ne \eta_k$ и при этом очевидно, что

$$ f(\xi_k) \, g( x \, - \, \xi_k) \, \ne \, f(\xi_k) \, g( x \, - \, \eta_k) . $$

В этом случае

$$ \int^{x_k}_{x_{k-1}} \, g(x \, - \, x') \, f(x') \, dx' \, \ne \, f(\xi_k) \, g( x \, - \, \xi_k) \, \Delta x_k . $$

[ewert]

Divergence, у Вас какой-то мистический подход к делу. Вам же уже рнесколько раз сказали, что какая разница -- $x$ или $b$, ежели они фиксированы.

[Someone]

Divergence в сообщении #1562616 писал(а):

Тут, вроде, не просто способ записи функции, а несколько другой тип функции.
А именно, под интегралом стоит не $f(x')$, а функция двух переменных

$$ F(x,x') \, = \, g(x-x') \, f(x') $$

и первая переменная является верхним пределом.

Господи, да какая разница? В вашем интеграле $x$ — постоянная. Если Вас так смущает буква $x$, напишите вместо неё $^{\Pi_{00}}_{\text{три}}\mathfrak{TB}^{'0}_{A^3_2}$ и успокойтесь.

[svv]

Divergence

1) В свёрточном интеграле есть переменная интегрирования и параметр. При каждом фиксированном значении параметра этот интеграл — просто интеграл Римана с конкретными пределами и подинтегральной функцией (зависящей только от одной переменной), и к нему применимы общие теоремы.

2) Если у Вас есть неуверенность, измените Ваши обозначения (хотя бы временно, до выяснения вопроса) так, чтобы они не пересекались с обозначениями Зорича.
У Зорича: пусть $f,g\in\mathcal R[a,b], g(x)\geqslant 0, f\in C[a,b]$, тогда $\exists\xi\in[a,b]: \int\limits_a^b f(x)\,g(x)\,dx=f(\xi)\int\limits_a^b g(x)\,dx$
У Вас: $\int\limits^z_0 p(z-t) \, q(t) \, dt$ при некотором фиксированном $z$.
Теперь сопоставляем/подставляем в Зорича:
$\begin{array}{l}x\to t\\a\to 0\\b\to z\\f(x)\to p(z-t),\quad g(x)\to q(t)\end{array}$
или
$f(x)\to q(t),\quad g(x)\to p(z-t)$
или
$f(x)\to p(z-t)\,q(t),\quad g(x)\to 1$
и так далее. Как угодно можно, лишь бы условия на функции выполнялись.

[Евгений Машеров]

А в чём вопрос-то? Можно ли преобразование Лапласа считать численно? Можно.

[Divergence]

Спасибо за ответы.

Тут родился еще один вопрос, чуть другой, но тоже про свертку Лапласа, а именно о поведении свертки на бесконечности и в нуле.

Пусть функции $g(x)$ и $f(x)$ неотрицательные и

$$ x^a \, g(x) \in C[0,\infty), \quad x^b \, f(x) \in C[0,\infty), $$

где $0<a<1$ и $b<1$.

Что можно сказать о функции $f(x)$, для которых свертка Лапласа при $x \to 0+$ стремилась к нулю,

$$ \lim_{x \to 0+} (g ,f)(x) \, = \, 0 , $$

а при $x \to +\infty$ стремилась к конечному числу,

$$ \lim_{x \to +\infty} (g ,f)(x) \, < \, \infty ? $$

Другими словами, какие ограничения надо наложить на $f(x)$, чтобы условия на пределы выполнялись для любых $g(x)$ c описанными свойствами?

Подскажите пожалуйста книги или статьи (русс или англ), в которых свойства свертки Лапласа в нуле и бесконечности описывались.

В качестве под-вопроса: какие ограничения надо наложить на $f(x)$, чтобы условия на пределы выполнялись для функции $g(x)$ являющейся плотностью гамма распределения

$$ g(x) \, = \, \frac{x^{\alpha-1} e^{-\beta x} \beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} , $$

где $a=1-\alpha$.
https://en.wikipedia.org/w/index.php?ti ... §ion=2