Притяжение диска (взятие интеграла)

[Mitkin]

Задача по астрономии. Лет 5 назад я пытался рассчитать притяжение большого диска. Интегралы получились сложными, я не смог их взять (многие не смог).

Сложность в том, что когда решаешь через ряды, надо ещё убедиться, что ряд сходится достаточно быстро. Т.е. надо подсчитать остаточный член. Без этого решение бесполезно.

Сейчас выложу самый простой пример:

$F=2GM\cdot\int\limits_{0}^{r}dp\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\rho\cdot p}{R^2+p^2+2Rp\cdot \cos(\varphi)}\cdot \frac{R-p\cdot \cos(\varphi)}{\sqrt{R^2+p^2-2Rp\cdot \cos(\varphi)}}d\varphi$

Здесь нет цифр, одни символы. Чтобы как-то оценить остаточный член вводится условие: $r<<R$.
Погрешность решения не более 10%. Желательно, чтобы была порядка 1%.

Моё решение этой задачи:
Подынтегральное выражение я раскладываю в ряд по степеням $(\cos(\varphi)-1)$ (это разложение в ряд Тейлора по степеням косинуса)
$\frac{1}{(R^2+r^2-2Rr\cdot \cos(\varphi))^{\frac{3}{2}}}\approx\frac{1}{(R-p)^3}+\frac{Rp(\cos(\varphi)-1)}{(R-p)^5}+\frac{15R^2p^2(\cos(\varphi)-1)^2}{(R-p)^7}$
Как нетрудно убедиться, члены ряда, при $p<<R$, быстро уменьшаются, поэтому ограничимся только первыми тремя (члены ряда убывают, каждый следующий член ряда получается умножением предыдущего на $\frac{Rp(1+2n)(\cos(\varphi)-1)}{(R-p)^2}$, в пределе, приблизительно на $\frac{4p}{R}$.
В итоге получаем:
$F\approx2GM\rho\cdot \int\limits_{0}^{r}pdp\int\limits_{0}^{\pi}(\frac{1}{(R-p)^3}+\frac{Rp(\cos(\varphi)-1)}{(R-p)^5}+\frac{15R^2p^2(\cos(\varphi)-1)^2}{(R-p)^7})(R-\cos(\varphi))d\varphi=\dots=2GMR\rho\pi(\frac{1}{2R}-\frac{1}{R-r}-\frac{R}{4(R-r)^2}-\frac{4R^2}{(R-r)^3}+\frac{33R^3}{2(R-r)^4}-\frac{18R^4}{(R-r)^5}+\frac{25R^5}{4(R-r)^6})$
Поскольку масса диска равна $m=\rho\pi\cdot r^2$, то можно записать:
$F\approx2G\frac{Mm}{r^2}R(\frac{1}{2R}-\frac{1}{R-r}-\frac{R}{4(R-r)^2}-\frac{4R^2}{(R-r)^3}+\frac{33R^3}{2(R-r)^4}-\frac{18R^4}{(R-r)^5}+\frac{25R^5}{4(R-r)^6})$
При $r<<R$
$F\approx2G\frac{Mm}{r^2}R(\frac{r^2}{2R^3}-8\frac{r^3}{R^4})=G\frac{Mm}{R^2}(1-16\frac{r}{R})$
Это было моё решение. В последствии я перепроверял решения, некоторые содержали ошибки. Многие интегралы взяты неверно, некоторые не знаю как брать и сейчас.

Дополнительно привожу фото моих решений для кольца:




Прошу помочь взять интенграл (плоское кольцо), поскольку мои решения несколько расходятся по результатам:
$2GM\cdot \int\limits_{D}^{D+L}dl\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\frac{1}{2}\rho}{\frac{l^2}{4}+(\frac{D}{2}-h)^2-l(\frac{D}{2}-h)\cos(\varphi)}\cdot \frac{\frac{D}{2}-h-\frac{l\cdot \cos(\varphi)}{2}}{\sqrt{\frac{l^2}{4}+(\frac{D}{2}-h)^2-l(\frac{D}{2}-h)\cos(\varphi)}}d\varphi$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- в чем состоит предмет обсуждения?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.