Уравнение кривой по способу ее построения.

[e7e5]

Правильный n-угольник вписан в окружность радиуса 1. Занумерованы радиусы этого правильного n-угольника, как то: a1, a2,…, an ( или $a_1, a_2, ..., a_n$ )

Далее, задан способ построения ломанной вокруг n-угольника, а именно:

Строятся последовательно окружности на продолжении радиусов n-yгольника, причем радиус первой окружности равен стороне n-угольника, второй – удвоенной стороне n-угольника, третьей – утроенной, и т.д. Центр первой окружности принадлежит a1 ($a_1$) и совпадает с вершиной n-yгоугольника, центр второй окружности является точкой пересечения первой окружности и следующего радиуса a2 ($a_2$), центр третьей – точка пересечения второй окружности и следующего продолжения радиуса a3 ($a_3$) и.т.д.

Ломанная получается соединением центров оружностей ( первой, второй, третьей ит.д). Например, для вершины n-угольника лежащей на оси абсцисс (0X) - строим первую окржность радисом равной стороне этого n-угольника. Из второй, следующей, вершины n-угольника строим окружность удвоенного радиуса. Эта окружность пересечет продление отрезка a3 ($a_3$). Из полученной точки пересечения строим окружность утроенного радиуса, находим новую точку пересечения с продолжением отрезка a4 ($a_4$), и.т.д.
Если какая-либо из окружностей пересекает ($a_i$) в двух точках, то берется для следующего построения самая дальняя от единичного круга.


Необходимо, при n стремящемся к бесконечности определить аналитический вид кривой по заданному способу построения.

Какие есть идеи?
загрузить картинку

Как это все связать с дифференциальной геометрией, чтобы найти уравнения кривой?
или по ссылке: посмотреть рисунок можно также здесь

[Cervix]

e7e5 писал(а):

Правильный n-угольник вписан в окружность радиуса 1. Занумерованы радиусы многоугольника, как то: a1, a2,…, an.
Далее, задан способ построения ломанной вокруг n-угольника, а именно:
Строятся последовательно окружности на продолжении радиусов многоугольника, причем радиус первой окружности равен стороне n-угольника x, второй – 2x, третьей – 3х, и т.д. Центр первой окружности принадлежит a1 и совпадает с вершиной многоугольника, центр второй окружности является точкой пересечения первой окружности и следующего радиуса a2, центр третьей – точка пересечения второй окружности и следующего продолжения радиуса a3 и.т.д.
Необходимо, при n стремящемся к бесконечности определить аналитический вид кривой по заданному способу построения.
Какие есть идеи?

Так, а что за ломаная? Гле расположены ее узлы?

e7e5 писал(а):

Известно, что длина окружности равна пределу периметра вписанного в окружность правильного n-угольника при n стремящемся к бесконечности.. Центральный угол, опирающийся на сторону этого правильного многоугольника равен 2*pi/n. Сторона многоугольника ( хорда) 2*Sin(pi/n). Но как это все связать с дифференциальной геометрией, чтобы найти уравнения кривой?

Длина какой окружности? В предыдущем абзаце вы писали, что радиусы окружностей $x,2x\ldots$.
PS: построения совсем не понял, может попробуете выложить какой-то вспомогательный рисунок, если после ответа на эти вопросы ничего не проянится?

[e7e5]

Сорри, подправил условие, теперь как? x - это просто сторона вписанного в единичную окружность правильного n-угольника, буквенное обозначение.

Добавлено спустя 1 час 10 минут 3 секунды:

Re: Определение уравнения кривой по способу ее построения.

Cervix писал(а):

Так, а что за ломаная? Гле расположены ее узлы?
PS: построения совсем не понял, может попробуете выложить какой-то вспомогательный рисунок, если после ответа на эти вопросы ничего не проянится?

Рисунок добавил. В Painte сложно рисовать окружности. Сорри. Надеюсь теперь понятен способ построения? Спасибо.

[e7e5]

Подумал, ведь дугу окружности можно рассмотреть как "криволинейную абсциссу"!
Тогда в таких криволинейных координатах задача будет "аналогична" для прямой
из "Задачи, взятой с потолка"
Нужно найти плоскую кривую такую, что при каждом малом приращении ds абсциссы s происходит постоянно возрастающее приращение deltaL длины кривой: 1) – первое преращение ds соответствует длине кривой 1*deltaL, 2)следующее второе приращение ds соответствует длине кривой 2*deltaL, и.т.д, n) n следующее приращение ds соответствует длине кривой n*deltaL

Если это так (?), то дальше совсем запутался. Какие есть идеи?
PS и счет 2:0

[Cervix]

e7e5 писал(а):

Рисунок добавил. В Painte сложно рисовать окружности. Сорри. Надеюсь теперь понятен способ построения? Спасибо.

На самом деле, так и не могу просмотреть этот рисунок, как ни пытаюсь.

[e7e5]

[quote="Cervix
На самом деле, так и не могу просмотреть этот рисунок, как ни пытаюсь.[/quote]

Попробуйте зайти по сслыке выше. Картинка не откроется, но нажмите кнопку "Обновить" - она тогда и откроется.
Какой-то глюк. Постраюсь подправить что-нибудь.

Теперь правда есть доп. описание искомой кривой. Это уже хорошо

[Cervix]

Там картинка "Купальники 2008". А по сути выдается ошибка 403.

Цитата:

Ошибка 403 означает, что доступ к запрошенной странице запрещен. Это может случиться, если хозяин сайта по каким-то соображениям решил закрыть от пользователей часть информации.

[Профессор Снэйп]

А я вообще условия не понял.

e7e5 писал(а):

Правильный n-угольник вписан в окружность радиуса 1. Занумерованы радиусы многоугольника, как то: a1, a2,…, an.

У многоугольника что, есть какие-то радиусы?

P. S. Надо пользоваться \TeX и писать $a_1,a_2, \ldots, a_n$.

[e7e5]

Профессор Снэйп писал(а):

У многоугольника что, есть какие-то радиусы?

P. S. Надо пользоваться \TeX и писать $a_1,a_2, \ldots, a_n$.

Критику принимаю.
1) Еще раз подправил условие. В Справочнике по элементраной математике, который у меня в домашней библиотечке: "Радиусами правильного многоугольника называются отрезки, соединяющие его центр с вершинами".

2) TeX постраюсь применить ( еще не использовал никогда)
3) У кого -нибудь рисунок отображается?
Спасибо

[Cervix]

e7e5 писал(а):

3) У кого -нибудь рисунок отображается?

Вот здесь рисунок сейчас отображается. (вверху дана кривая ссылка)
У меня пока никаких содержательных идей не появляется, надо думать

[e7e5]

Спасибо, ссылку подправил. Как же все таки эту кривую искать?

[Cervix]

e7e5 писал(а):

Как же все таки эту кривую искать?

Идейно? Очень просто - нужно явно выразить $r(n)$ - точку пересечения ломаной и "радиуса" $a_n$. А потом устремить мелкость разбиения к нулю, обычно так удается выцепить диффур. Но реализовать эту идею за разумное время мне не удалось, может, потом еще подумаю.

[e7e5]

Коллеги, может ли кто-нибудь нарисовать кривую по заданному способу построения на компьютере:
Способ построения описан в теме:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=15035

загрузить картинку

В нескольких вариантах, в разных масштабах. Что даст компьютер?
Спасибо

[maxal]

e7e5, предупреждение за дублирование тем!

[e7e5]

maxal писал(а):

e7e5, предупреждение за дублирование тем!

Уважаемый maxal! Думал, что Computer Sci - это другая секция, там алгоритмы обсуждаются, а здесь "чистая" математика, по большей части без компьютера. Или разве можно результат компьютера - картинку считать доказательством.
Делать нечего, пусть будет здесь.