Бесконечное семейство возрастающих посл.-тей

[kthxbye]

Пусть $\operatorname{tr}(n)$ - это A007814, т.е. максимальная степень двойки, на которую делится $n$ или же число конечных нулей в двоичной записи $n$ (отсюда название функции, поскольку на англ. конечные нули это trailing zeros).

Пусть $\operatorname{ntr}(n)$ - это A086784, т.е. число всех остальных нулей в двоичной записи $n$ (от англ. non-trailing).

Введем бесконечное семейство последовательностей $a(n,m)$. Здесь $a(n,m)$ (для некоторого заданного $m$) - это последовательность таких чисел $k$ (по возрастанию), для которых выполняется равенство

$$\operatorname{tr}(k)=m\operatorname{ntr}(k)$$

Отбросим конечные нули в двоичной записи $a(n,m)$, а также удалим оставшуюся крайней справа единицу, чтобы получить $b(n,m)$:

$$b(n,m)=\left\lfloor\frac{a(n,m)}{2^{\operatorname{tr}(a(n,m))+1}}\right\rfloor$$

Тогда $b(n,m)$ - это беконечное семейство перестановок натуральных чисел.

Для некоторого заданного $m$ заменим каждый ноль в двоичной записи $b(n,m)$ на $m+1$ нулей, чтобы получить $c(n,m)$.

Докажите, что для любого заранее заданного $m$ последовательность $c(n,m)$ - возрастающая.

Здесь $c(n,1)$ - это A060142. Для любого $m>1$ последовательность $c(n,m)$ можно задавать по правилу из названия A060142, заменяя $4x$ на $2^{m+1}x$.