Попытайтесь воспользоваться явной формулой для многочленов Эрмита

, сократить в интеграле экспоненты и начать интегрировать по частям.
Еще есть полезная формула

.
Проинтегировав по частям

раз у Вас должно получится сумма выражений (с какими-то коэффициентами) вида

, что уже не очень сложно берется.