Множество, которым представлен ковариантный функтор булеана

[Artyom MK]

Здраствуйте, я начал изучать теорию категорий и у меня возник следующий вопрос: представим ли ковариантый функтор булеана множества.

Нам известно два функтора множества подмножеств: ковариантный $P : Set \to Set$, который функцию $\forall f : A \to B$ засовывает в подмножества и применяет внутри, что получается $Pf : PA \to PB; Pf (S_a) = \left\lbrace f (x) | x \in s_a \right\rbrace $ и контрвариантный $P' : Set^o^p \to Set$, который. $\forall f : A \to B$ сопоставляет функцию $P'f : P'B \to P'A ; P'f (S_b) = \left\lbrace x | f (x) \in S_b \right\rbrace $

Мне известно, что контрвариантная версия этого функтора представим двухэлементным множеством $Bool = \left\lbrace True, False \right\rbrace$ .
Раз существует естественный изоморфизм $Hom(-,Bool) \Rightarrow P'$, то $\forall X $ существует изоморфизм $Hom(X, Bool) \Rightarrow P' X$ каждому такому предикату из $Hom(X, Bool)$ сопоставляет полный прообраз $True$ и наоборот: каждому подмножеству $Х$ сопоставляем предикат.

Но я не могу найти нужное множество $A$ для $P$, чтобы $P \approx Hom(A, -)$. По лемме Йонеды хотя бы одно естественное преобразование должно быть оно должно быть, ибо $\forall A \in Set | \varnothing \in PA $, но существет ли естественный изоморфизм - для меня открытый вопрос.