Find min

[Солунац]

Find min $\displaystyle\min\limits_{a,b,c,d\in \mathbb{C}} \{\int\limits_{-1}^0 (x^3+ax^2+bx+c)^2dx + \int\limits_0^1 (x^3+ax^2+bx+d)^2dx\}$

[Brukvalub]

Судя по Вашей формуле, Вы пытаетесь минимизировать интеграл, принимающий комплексные значения. Какое упорядочение в поле комплексных чисел Вы рассматриваете?

[Zai]

Для действительных коэффициентов - это задача аппроксимации кубической функции квадратичным многочленом - минимизация квадрата расстояния на отрезке -1, 1. По соображениям нечетности аппроксимируемой функции a=0, c=0, d=0
Поиск b достаточно прост.

[Brukvalub]

Zai писал(а):

Для действительных коэффициентов.....

Солунац писал(а):

Find min $\displaystyle\min\limits_{a,b,c,d\in \mathbb{C}} \{\int\limits_{-1}^0 (x^3+ax^2+bx+c)^2dx + \int\limits_0^1 (x^3+ax^2+bx+d)^2dx\}$

[Солунац]

@Brukvalub
I thought too, but got an answer that everything is ok. If $a,b,c,d\in \mathbb{C}$ then it is possible that min doesn't exist (I think it could be seen for a $a=b=0$ and $c=d=in$ and of course $n\in\mathbb{N}$, so value of sum of integrals is $2/7-n^2$.
But if $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ why this would be a functional analysis problem? So u know now what's bothering me.

[AD]

Выражение под знаком минимума, очевидно, является многочленом на $a$, $b$, $c$, $d$. Разве оно не должно принимать все комплексные значения, если не является константой?

[Narn]

That is not a functional analysis problem. It's just calculus and nothing more (I am talking about the problem itself, not about it's source).

Why wouldn't you suppose that coefficients are real numbers?

If you want to deal with complex coefficients and the problem comes from approximation theory (as Zai wrote), then you'd better take the integrals of the absolute values of squares since that is the definition of the norm in $L_2(G, \mathbb{C})$:

$\displaystyle\min\limits_{a,b,c,d\in \mathbb{C}} \{\int\limits_{-1}^0 |(x^3+ax^2+bx+c)^2|dx + \int\limits_0^1 |(x^3+ax^2+bx+d)^2|dx\}$

[Brukvalub]

AD писал(а):

Выражение под знаком минимума, очевидно, является многочленом на $a$, $b$, $c$, $d$. Разве оно не должно принимать все комплексные значения, если не является константой?

Это следует из основной теоремы алгебры.

[незваный гость]

Is is possible that the problem is like

$\displaystyle\min\limits_{a,b,c,d\in \mathbb{C}} \{\int\limits_{-1}^0 |x^3+ax^2+bx+c|^2dx + \int\limits_0^1 |x^3+ax^2+bx+d|^2dx\}$?

It makes a little more sense for me.

Добавлено спустя 5 минут 33 секунды:

In case $\mathbb{R}$, I believe the answer is $a = 0,$ $b = -\frac{9}{10},$ $c=-\frac15,$ $d = \frac15$. Nothing personal, Zai .