Интегралы

[Maxim_N]

Помогите с ходом решения интегралов:
Какую необходимо сделать замену для дальнейшего решения, уже все перебрал((

$$ \int {\frac{{\root 3 \of {arc\sin x} }} {{\sqrt {1 - x^2 } }}} dx $$

Посмотрите, правильно ли я сделал сравнение числителя исходной дроби полученной во 2-ом интеграле:

$$ \int {\frac{{2x^2 + 3x + 22}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} dx = \frac{{Ax + B}} {{x^2 + 4x + 8}} + \frac{C} {{x - 3}} = \frac{{Ax^2 - 3Ax + Bx - 3B + Cx^2 + 4Cx + 8C}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}} $$

$$ \eqalign{ 22 = 8C - 3B \cr & 3 = 4C + B - 3A \cr & 0 = C + A \cr} $$

[Echo-Off]

Maxim_N писал(а):

$$ \int {\frac{{\root 3 \of {arc\sin x} }} {{\sqrt {1 - x^2 } }}} dx $$

Мне кажется, замена $t=\arcsin x$ так и просится в рот

[Brukvalub]

Maxim_N писал(а):

Посмотрите, правильно ли я сделал сравнение числителя исходной дроби полученной во 2-ом интеграле:

$$ \int {\frac{{2x^2 + 3x + 22}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} dx = \frac{{Ax + B}} {{x^2 + 4x + 8}} + \frac{C} {{x - 3}} = \frac{{Ax^2 - 3Ax + Bx - 3B + Cx^2 + 4Cx + 8C}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}} $$

22 = 8C - 3B
3 = 4C + B - 3A
0 = C + A

Все верно, кроме последней строки, которая неверна.

[Maxim_N]

Echo-Off Спасибо!!!

Brukvalub писал(а):

Все верно, кроме последней строки, которая неверна.

Я не правильно записал интеграл:

$$ \int {\frac{{2x^3 + 3x + 22}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} dx = ... $$

[Brukvalub]

Интеграл Вы записали правильно. Вы неправильно сосчитали строки. Попробуйте еще раз.

[GAA]

Дробь $ \frac{{2x^3 + 3x + 22}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ является неправильно. Её следует разложить на многочлен (возможно нулевой степени) и правильную дробь, а затем раскладывать правильную дробь на простейшие дроби.

[Maxim_N]

Brukvalub писал(а):

Интеграл Вы записали правильно. Вы неправильно сосчитали строки. Попробуйте еще раз.

У меня получается так

$$ \eqalign{ & x^0 :22 = 8C - 3B \cr & x^1 :3 = 4C + B - 3A \cr & x^2 :0 = C + A \cr & x^3 :2 = 0 \cr} ??? $$

[Brukvalub]

Так Вы ошиблись в записи исходного условия? Тогда см. подсказку GAA

[Maxim_N]

Правильно ли я понял, мне необходимо выполнить понижение степени?

[Brukvalub]

Maxim_N писал(а):

Правильно ли я понял, мне необходимо выполнить понижение степени?

Нет. Нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.

[Maxim_N]

т.е. должнополучиться так?

$$ \int {\left( {2 + \frac{{ - 2x^2 + 11x + 70}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right)} dx $$

[Алексей К.]

Чего Вы растерялись? Распишу подсказку GAA подробнее.

GAA писал(а):

Дробь $ \frac{{2x^3 + 3x + 22}} {{\left( {x^2 + 4x + 8} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ является неправильно. Её следует разложить на многочлен (возможно нулевой степени) и правильную дробь, а затем раскладывать правильную дробь на простейшие дроби.

$$ \frac{2x^3 + 3x + 22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}=\underbrace{P_0+P_1x+P_2x^2+\ldots\mbox{\small ~стоп?}}+ \frac{Ax + B}{x^2 + 4x + 8} + \frac{C}{x - 3} = \ldots$$

.
Теперь надо подумать и понять, что то, что я обнял фигурной скобкой, ограничивется всего навсего помянутым многочленом нулевой степени, т.е. $P_0$. Можно также попробовать понять, что $P_0=2$, и не заводить новую неизвестную. А дальше Вы умеете.

Добавлено спустя 1 минуту 6 секунд:

Опоздал... Ща проверю. Правильно. Ниже я просто балуюсь. Можно не обращать внимания.

$$\begin{array}{l}\dfrac{2x^3 + 3x + 22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}= \dfrac{2x^3 +8x^2 +16x - 8x^2 -16x + 3x + 22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}= \dfrac{2x(x^2 +4x +8) - 8x^2 -13x + 22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}=\\ =\dfrac{2x}{x-3}-\dfrac{8x^2 +13x -22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}\end{array}$$

$$\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2x-6+6}{x-3}=\dfrac{2(x-3)+6}{x-3}=2+\dfrac{6}{x-3}$$

$$\dfrac{8x^2 +13x -22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}= \dfrac{8(x^2 +4x+8)-32x-64 +13x -22}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)}= \dfrac{8}{x-3}-\dfrac{19x+86}{(x^2 + 4x + 8)(x - 3)} $$

Не, побаловался, и хватит, делайте со своими A,B,C... Ответ будет такой муторный и противный, что прийдётся снова ошибку в условии заподозрить... Может, где плюсик с минусом перепутался...

[Maxim_N]

Всем откликнувшимся ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!!