Зорич, стр 420-421 писал(а):
Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие первообразной и принять
Определение 1.Непрерывная на числовом промежутке функция

называется
первообразной (обобщенной первообразной) функции

, определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа, имеет место соотношение

.
Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива следующая
Теорема 1'. Каждая определенная и ограниченная на отрезке
функция
с конечным множеством точек разрыва имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая первообразная функции
на
имеет вид (4) (т.е. вид
где
- некоторая постоянная. - примечание мое)
Поскольку

имеет конечное множество точек разрыва, то
![$f \in R[a,b]$ $f \in R[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/9/f29247ace2a6271c81d5c878ab3c1dc482.png)
и по лемме 1 функция (1) (т.е. функция

- примечание мое) является обобщенной первообразной для

на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
. При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2) функция (1) непрерывна на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
. Если

- другая первообразная функции

на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
, то

- непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции

разбивают отрезок
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
. Из непрерывности

на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
тогда следует, что

на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
.

Я согласен, что интеграл с переменным верхним пределом является обобщенной первообразной для

. Я не согласен с той, частью доказательства, где доказывается, что все обобщенные первообразные имеют вид

где

- некоторая постоянная. А именно, меня смущает вот эта строчка:
Цитата:
Если

- другая первообразная функции

на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
, то

- непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции

разбивают отрезок
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
.
Для функции

будет, по определению, выполняться равенство

для всех точек отрезка
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
кроме, быть может, конечного их числа. Но кто сказал, что это конечное множество "плохих" точек, в которых данное равенство может нарушаться, должно совпадать с точками разрыва функции

? Это ниоткуда из определения обобщенной первообразной не следует - там просто требование конечности числа "плохих" точек. Зорич делает моментально логический переход, что функция

будет постоянна на каждом отрезке с концами - точками разрыва функции

. Но такой логический переход делать на мой взгляд нельзя. Когда можно гарантировать постоянство какой-то функции? Например, когда выполняются такие 3 условия:
1) Она определена на связном подмножестве

2) Она всюду дифференцируема на этом подмножестве
3) Ее производная всюду равна нулю на этом подмножестве
(пункты 2 и 3 можно косметически ослабить и требовать непрерывность везде + дифференцируемость и равенство нулю производной во всех
внутренних точках нашего линейно связного промежутка)
Но в данном то случае производная функции

не факт, что равна нулю в любой точке на любом из рассматриваемых выше подотрезков (с концами - точками разрыва функции

). Вдруг множества "плохих" точек

и

не совпадают - такой сценарий тоже может быть в теории. Тогда пункт 3, даже в его более слабой форме, выполняться не будет.
Как бы доказывал это место я:
Рассмотрим множество

- множество "плохих" точек функции

и множество

- множество "плохих" точек

. Положим

. Множество

конечное и разбивает отрезок
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
на подотрезки. Берем произвольный подотрезок и рассматриваем на нем функцию

. Она на нем непрерывна, во всех внутренних точках дифференцируема и ее производная во всех внутренних точках равна нулю, следовательно

является константой на этом подотрезке. Раз выбирали подотрезок произвольно, следовательно

является константой на всех подотрезках. В сумме с ее непрерывностью на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
получаем, что она всюду константа на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
, чтд.
Есть еще проблема в том, что у Зорича вот этой более слабой версии пунктов 1-3 (которую я написал ниже в скобках) вроде бы и не было. Т.е. по хорошему доказательство должно бы быть еще более подробное. Но это уже придирка действительно по мелочам. А вот разные множества "плохих" точек у

и

я думаю стоит рассматривать.
Хотел бы узнать, действительно ли здесь есть косяк.