Оценка суммы

[vicvolf]

Известна асимптотическая оценка суммы $\sum_{p \leq x} \ln(p)/p=\ln(n)+O(1)$, где $p$ - простое число.

Надо определить асимптотическую оценку для более общего случая $\sum_{p \leq x}\ln^k(p)/p$, где $k$ - натуральное число.

Хотелось бы используя только теоремы из А.А. Бухштаб "Теория чисел". Я, к сожалению, не знаю, как это сделать.


Попытка решения задачи без использования этого учебника.


Пусть $a_n=1$, если $n$ - простое число и $a_n=0$ в противном случае. Обозначим $A(x)=\sum_{n \leq x}a_n= \pi(x)$, где $\pi(x)$ - количество простых чисел, не превосходящих $x$.

Если $f'(t)$ - существует и непрерывна, то используя формулу Абеля к сумме $\sum_{p \leq x}f(p)=\sum_{n \leq x}a_nf(n)$ получим:

$\sum_{p \leq x}f(p)=\sum_{n \leq x}a_nf(n)=A(x)f(x)-\int_1^x {A(t)f'(t)dt$.

Так как в данном случае $A(x)=\pi(x)$, то получим:

$\sum_{p \leq x}f(p)=\sum_{n \leq x}a_nf(n)=\pi(x)f(x)-\int_1^x {\pi(t)f'(t)dt$. (1)

На основании асимптотического закона простых чисел:

$\pi(x)=\frac {x}{\ln(x)}+O(\frac{x}{\ln^2(x)})$. (2)

Подставим (2) в (1) и получим общую формулу:

$\sum_{p \leq x}f(p)=\frac {xf(x)}{\ln(x)}+O(\frac{x|f(x)|}{\ln^2(x)})-\int_2^x {\frac {tf'(t)dt}{\ln(t)}}+O(\int_2^x{\frac{t|f'(t)|dt}{\ln^2(t)}})$. (3)

Подставим в (3) $f(p)= \frac {\ln^k(p)}{p}$:

$\sum_{p \leq x} {\frac {\ln^k(p)}{p}}=\frac {x\ln^k(x)}{x\ln(x)}+O(\frac {x\ln^k(x)}{x\ln^2(x)})-$$\int_2^x {\frac {t((k\ln^{k-1}(t)-\ln^k(t))/t^2)dt}{\ln(t)}}+O(\int_2^x{\frac {t((k\ln^{k-1}(t)-\ln^k(t))/t^2)dt}{\ln^2(t)})$. (4)

Учитывая, что:

$\int_2^x {\frac{\ln^{k-1}(t)dt}{t}}=\int_2^x{\ln^{k-1}(t)d\ln(t)}=\frac{\ln^k(x)}{k}+O(1)$, (5)

то подставляя (5) в (4) получаем:

$\sum_{p \leq x} {\frac {\ln^k(p)}{p}}=\ln^{k-1}(x)+O(\ln^{k-2}(x))-\ln^{k-1}(x)+O(1)+\ln^k(x)/k+O(1)$$+O(\ln^{k-2}(x))+O(1)+O(\ln^{k-1}(x))+O(1)=\ln^k(x)/k+O(\ln^{k-1}(x))$

Таким образом:

$\sum_{p \leq x} {\frac {\ln^k(p)}{p}}=\frac{\ln^k(x)}{k}+O(\ln^{k-1}(x))$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Задача стандартная, тема для ПРР.
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[vicvolf]

Нашел только в Бухштаб "Теория чисел" на стр. 346 фразу "Пользуясь теоремой 330 с помощью преобразования Абеля можно получить асимптотические оценки целого ряда других сумм с простыми числами". Но, к сожалению, теорем по преобразованию Абеля в Бухштаб нет. Представим, что они есть. Ссылаясь на них в качестве теоремы 329 можно привести доказательство формулы (3). Тогда теоремы 330, 332 и другие суммы простых оцениваются в одну строчку.