кривизна строго выпуклой кривой

[ewert]

Женисбек писал(а):

Утверждение. Если есть параметризация $x(t), y(t)$, $t\in[a,b]$ строго выпуклой регулярной кривой такая, что $x''^2(t)+y''^2(t)\ne 0$ всюду на $[a,b]$, то кривизна не обращается в нуль всюду на кривой.

Хм. Утверждение, собственно, состоит в следующем: если при периодическом движении по замкнутой траектории вектор ускорения нигде не обращается в ноль, то и кривизна не обращается в ноль.
А с какой стати-то? Неверно, конечно.

Доказательство. Вектор ускорения распадается на две ортогональные составляющие -- центростремительное и нормальное. Если движение происходит с ненулевой скоростью, то центростремительная составляющая не равна нулю во всех точках с ненулевой кривизной. Т.е. вектор ускорения может обращаться в ноль только в тех точках, где кривизна нулевая. Однако есть же ещё и касательная составляющая. Которая представляет собой просто "линейное ускорение", т.е. производную модуля вектора скорости. Немного скорректировав скорости, всегда можно добиться того, чтобы эта составляющая стала ненулевой в любых выделенных точках -- например, с нулевой кривизной. Это возможно, т.к. на скорости никаких ограничений, кроме периодичности, не наложено. Другими словами, всегда можно выбрать параметризацию так, что вектор ускорения нигде не ноль, даже если есть точки с нулевой кривизной.
Ч.т.д.

[Алексей К.]

Женисбек писал(а):

Обозначим
$\boldsymbol{n}(t)$ - вектор единичной нормали, направленный внутрь кривой

Как-то я не заметил, где это уточнение --- "внутрь кривой" --- фигурирует или испульзуется. В частности компоненты $\boldsymbol{n}(t)$ явно не выписываются

Женисбек писал(а):

...и, следовательно, $\mathrm{(1)}\qquad\boldsymbol{r}''(t_0)=\lambda \boldsymbol{r}'(t_0)$, $\lambda=\mathrm{const}$

Этот "const" здесь, мне кажется, не нужен. Вы рассматриваете соотношение в точке, все величины здесь в одинаковой мере "const"ы. Важно (и понятно без уточнений), что это скаляр.
А какая разница, домножаем ли мы слева или справа? Опять излишество?

Но это мелочёвка. А вот как это у Вас $\left<\boldsymbol{r}'(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>=0$, а чуть ниже $\left<\boldsymbol{r}''(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right> =C> 0$, при том, что $\boldsymbol{r}'$ и $\boldsymbol{r}''$ уже параллельны?

Женисбек писал(а):

$\left<\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>$
$=\underbrace{\left<\boldsymbol{r}'(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>}_{=0}(t-t_0)+\frac{\lambda}{2} \underbrace{\left<\boldsymbol{r}'(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>}_{=0}(t-t_0)^2 + o((t-t_0)^2)$
$=o((t-t_0)^2)$.
Таким образом
$\mathrm{(3)}\qquad\left<\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>=o((t-t_0)^2)$

С другой стороны, домножая (2) на $\boldsymbol{n}(t_0)$, и учитывая $\boldsymbol{r}''(t_0)\ne 0$ получим
$\left<\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>=\underbrace{\frac 12 \left<\boldsymbol{r}''(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>}_{C}(t-t_0)^2 + o((t-t_0)^2)$
$=C(t-t_0)^2 + o((t-t_0)^2)$,
причем, в силу строго выпуклости кривой,
$\left<\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>>0\Rightarrow C>0$

Лично мне пришлось бы напрячь мозги, чтобы сделать этот вывод из выпуклости (и для этого, вероятно "внутрь-наружу" и служило) , но я пока их трогать не буду... Пока с параллельностью не прояснится. Вторую производную сложной функции я себе простил, а вот если окажется, что мне надо бежать учить скалярные произведения, то...
Упорство и труд всё перетрут!

[Женисбек]

ewert писал(а):

Немного скорректировав скорости, всегда можно добиться того, чтобы эта составляющая стала ненулевой в любых выделенных точках -- например, с нулевой кривизной. Это возможно, т.к. на скорости никаких ограничений, кроме периодичности, не наложено. Другими словами, всегда можно выбрать параметризацию так, что вектор ускорения нигде не ноль, даже если есть точки с нулевой кривизной.
Ч.т.д.

Ну хорошо, как перепараметризовать $(t,t^4),\ t\in[-1,1]$, чтоб ускорение нигде не обнулялось?

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

Алексей К. писал(а):

Но это мелочёвка. А вот как это у Вас $\left<\boldsymbol{r}'(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right>=0$, а чуть ниже $\left<\boldsymbol{r}''(t_0),\boldsymbol{n}(t_0)\right> =C> 0$, при том, что $\boldsymbol{r}'$ и $\boldsymbol{r}''$ уже параллельны?

Да, согласен, это ошибка. Док-во неверно.

[Someone]

Женисбек писал(а):

Ну хорошо, как перепараметризовать $(t,t^4),\ t\in[-1,1]$, чтоб ускорение нигде не обнулялось?

$t=\tau(\tau+4)$, $\sqrt{3}-2\leqslant\tau\leqslant\sqrt{5}-2$.

[Алексей К.]

Женисбек писал(а):

Ну хорошо, как перепараметризовать $(t,t^4),\ t\in[-1,1]$, чтоб ускорение нигде не обнулялось?

Я бы попробовал так. С этой ли параболой, с той ли моей кривулькой, (где я понадеялся на тангенс половинного угла, но не сработало; чуть её изменить стоит, $p(t)=2-\cos(t)$, чтобы интересующая Вас точка соответствовала $t=0$).
У Вас есть великая формула для второй производной сложной функции. Юзаем её и смотрим, каким соотношениям должна удовлетворять $u(t)$ (или там $u(0),u'(0),u''(0),u'''(0)$), дабы искомое свершилось. Посмотрев на эти соотношения, делаем дальнейшие выводы.

[Женисбек]

Someone писал(а):

Женисбек писал(а):

Ну хорошо, как перепараметризовать $(t,t^4),\ t\in[-1,1]$, чтоб ускорение нигде не обнулялось?

$t=\tau(\tau+4)$, $\sqrt{3}-2\leqslant\tau\leqslant\sqrt{5}-2$.

Понял, спасибо!

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

Все, вопрос окончательно решен. Всем откликнувшимся спасибо!