Нахождение обратимого элемента в кольце вычетов

[Middle]

Напишите явную формулу для вычисления обратного элемента к числу $a+bx$ в поле $\mathbb{Q}(x)/(x^2+x+1)$
Очевидно, что элементы поля имеют вид: $a+bx$
Тогда напишем:
$(a+bx)(c+dx)=1$
$ac+x(ad+bc)+bdx^2=1$
Перезапишем верхнее уравнение в виде: $a+bx+cx^2$ и найдем остаток от деления на $x^2+x+1$
Легко проверить, что он имеет вид: $ x(b-c)+a-c$
Тогда $[x(b-c)+a-c]/(x^2+x+1)=1$, а это возможно когда $b=c$ и $a-c=1$. Или, учитывая исходное уравнение:

$ad+bc=bd$
$ac-bd=1$

Из этой системы находим неизвестные $ c , d$

[Padawan]

Поделите $x^2+x+1$ на $a+bx$ с остатком.

[Null]

Можно просто домножить и числитель и знаменатель на сопряженное к $ax+b$.

[Padawan]

Точно! Подумал про это, но не понял, что здесь сопряженный к $x$ элемент. Это просто второй корень уравнения $x^2+x+1$. Значит, $x+\overline x=-1$, $x\overline x=1$.

[Padawan]

Upd. Я конкретно затупил. Мне почему-то показалось, что $x^2+x+1$ имеет действительные корни. А для $x^2+x+1$ сопряженный элемент $\overline x$ - это просто комплексно-сопряженный корень (он и будет вторым корнем).